第九章 实向量空间上的算子

\(\newcommand{\L}{\mathcal L}\newcommand{\M}{\mathcal M}\newcommand{\C}{\mathbb C}\newcommand{\span}{\operatorname{span}}\newcommand{\null}{\operatorname{null}}\newcommand{\range}{\operatorname{range}}\newcommand{\l}{\langle}\newcommand{\r}{\rangle}\newcommand{\lv}{\lVert}\newcommand{\rv}{\rVert}\)

本章将延续上一章的记号和假设。

9.1 复化

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  • 定义 9.1.1（向量空间的复化）：设 \(V\) 是 \(\mathbb R\) 上的。定义 \(V\) 的复化为 \(\C\) 上的向量空间 \(V_{\C}:=V\times V\)（将 \(V_{\C}\) 中的元素 \((u,v)\) 也记为 \(u+iv\)），其中 \(V_\C\) 上的加法和实标量乘法和向量空间的笛卡尔积中的定义相同，而 \(V_\C\) 上的复标量乘法定义为 \((a+bi)(u+iv)=(au-bv)+i(bu+av)\)，其中 \(a,b\in\mathbb R\)。

    可以验证，\(V_\C\) 上的实标量乘法相容于新定义的复标量乘法。可以验证，\(V_\C\) 确是向量空间。

我们将 \(v\in V\) 等同于 \(v+i0\in V_\C\)。

  • 引理 9.1.2：设 \(V\) 是 \(\mathbb R\) 上的，\(v_1,\cdots,v_n\) 是 \(V\) 的一组基，那么它们也是 \(V_\C\) 的一组基。

    证明：一方面，\(v_1,\cdots,v_n\) 在 \(a_1+b_1i,\cdots,a_n+b_ni\) 的组合下等于 \(0\)，等价于 \(v_1,\cdots,v_n\) 在 \(a_1,\cdots,a_n\) 和 \(b_1,\cdots,b_n\) 的组合下都等于 \(0\)，所以 \(v_1,\cdots,v_n\) 线性无关。一方面，\(a_1,\cdots,a_n\) 的任意性可以取得结果实部的任意性，\(b_1,\cdots,b_n\) 的任意性可以取得结果虚部的任意性。

引理 9.1.2 说明了，若 \(v_1,\cdots,v_n\) 是 \(V\) 的一组基，那么 \(V\) 是 \(v_1,\cdots,v_n\) 所有实系数线性组合的结果，\(V_\C\) 是 \(v_1,\cdots,v_n\) 所有复线性组合的结果。

  • 定义 9.1.3（算子的复化）：设 \(V\) 是 \(\mathbb R\) 上的，\(T\in\L(V)\)。定义 \(T\) 的复化为 \(T_\C\in\L(V_\C)\) 满足 \(T_\C(u+iv)=Tu+iTv\)。

  • 引理 9.1.4：设 \(V\) 是 \(\mathbb R\) 上的，\(v_1,\cdots,v_n\) 是 \(V\) 的一组基，\(T\in\L(V)\)，那么 \(\M(T)=\M(T_\C)\)。

  • 定理 9.1.5：设 \(T\in\L(V)\)，那么 \(T\) 有一维或二维的不变子空间。

    证明：只考虑 \(V\) 在 \(\mathbb R\) 上的情况。存在不全为零的 \(u,v\in V\)，使得 \(u+iv\) 是 \(V_\C\) 的本征向量，对应本征值为 \(a+bi\)。那么 \(T(u+iv)=(a+bi)(u+iv)\)，即 \(Tu=au-bv\) 且 \(Tv=bu+av\)，从而 \(\span\{u,v\}\subseteq V\) 在 \(T\) 下不变。

  • 定理 9.1.6：设 \(V\) 是 \(\mathbb R\) 上的，\(T\in\L(V)\)。那么 \(T_\C\) 的极小多项式等于 \(T\) 的极小多项式。

    证明：设 \(p,q\in\mathcal P(\mathbb R)\)，那么 \(\mathcal P(\C)\) 中的元素都可以被表为 \(p+qi\) 的形式，那么 \(((p+qi)(T_\C))(u+iv)=0\) 对任意 \(u+iv\in V_\C\) 成立等价于 \(p(T)u-q(T)v=q(T)u+p(T)v=0\) 对任意 \(u,v\in V\) 成立，即 \(p(T)=q(T)=0\)。而 \(p+qi\) 的次数等于 \(p,q\) 次数的较大值，而且极小多项式是首一多项式，所以 \(T_\C\) 的极小多项式应该是 \(p\) 为 \(T\) 的极小多项式、\(q\) 为 \(0\) 的形式。

定理 9.1.6 蕴含了，\(T_\C\) 的极小多项式是实系数的。

  • 定理 9.1.7：设 \(V\) 是 \(\mathbb R\) 上的，\(T\in\L(V)\)，\(\lambda\in\mathbb R\)。那么 \(\lambda\) 是 \(T\) 的本征值当且仅当 \(\lambda\) 是 \(T_\C\) 的本征值。

  • 引理 9.1.8：设 \(V\) 是 \(\mathbb R\) 上的，\(T\in\L(V)\)，\(\lambda\in\C\)，\(j\in\mathbb N\)，\(u,v\in V\)。那么 \((T_\C-\lambda I)^j(u+iv)=0\iff (T_\C-\overline{\lambda} I)^j(u-iv)=0\)。

    证明：定义 \(V_\C\) 上的 “共轭” 后容易证明。

  • 推论 9.1.9：设 \(V\) 是 \(\mathbb R\) 上的，\(T\in\L(V)\)，\(\lambda\in\C\)。那么 \(\lambda\) 是 \(T_\C\) 的本征值当且仅当 \(\overline{\lambda}\) 是 \(T_\C\) 的本征值。

  • 推论 9.1.10：设 \(V\) 是 \(\mathbb R\) 上的，\(T\in\L(V)\)，\(\lambda\in\C\) 是 \(T_\C\) 的本征值，那么 \(\lambda\) 的重数等于 \(\overline{\lambda}\) 的重数。

  • 定理 9.1.11：设 \(V\) 是奇数维的，\(T\in\L(V)\)，那么 \(T\) 有本征值。

    证明：只考虑 \(V\) 在 \(\mathbb R\) 上的情况。一种方法是利用定理 9.1.5，并对 \(V\) 的维数做归纳。另一种更为简洁的方法是，\(T_\C\) 的非实本征值都是成对出现的，且每一对的重数相等，而 \(T_\C\) 所有本征值的重数之和等于 \(V\) 的维数，从而 \(T_\C\) 一定有实本征值，那么 \(T\) 也有一定有实本征值。

  • 定义 9.1.12（特征多项式）：设 \(V\) 是 \(\mathbb R\) 上的，\(T\in\L(V)\)，定义 \(T\) 的特征多项式为 \(T_\C\) 的特征多项式。

  • 引理 9.1.13：设 \(V\) 是 \(\mathbb R\) 上的，\(T\in\L(V)\)，那么 \(T\) 的特征多项式的：

    • 系数都是实的。
    • 次数为 \(\dim V\)。
    • 所有实零点恰为 \(T\) 的所有本征值。

    证明：复特征值成对出现且重数相等。

  • 定理 9.1.14（凯莱-哈密尔顿定理）：设 \(T\in\L(V)\)，\(q\) 是 \(T\) 的特征多项式，则 \(q(T)=0\)。

\(T,T_\C\) 的特征多项式、极小多项式都相同。

9.2 实内积空间上的算子

本节中，假设 \(V\) 是内积空间。

  • 引理 9.2.1：设 \(\mathbb F=\mathbb R\)，\(\dim V=2\)，\(T\in\L(V)\)，那么下述条件等价：

    1. \(T\) 是正规的但不是自伴的。
    2. \(T\) 关于 \(V\) 的任意标准正交基的矩阵都是 \(\begin{pmatrix}a &-b\\b &a\end{pmatrix}\) 的形式，其中 \(b\neq 0\)。
    3. \(T\) 关于 \(V\) 的某个标准正交基的矩阵都是 \(\begin{pmatrix}a &-b\\b &a\end{pmatrix}\) 的形式，其中 \(b>0\)。

    证明：根据奇异值分解，存在 \(V\) 的标准正交基 \(e_1,e_2\) 和 \(f_1,f_2\)，使得 \(Te_i=s_if_i\) 成立，其中 \(s_1,s_2\) 是 \(T\) 的奇异值。那么 \(T^*f_i=s_ie_i\)，\(T^*Te_i=s_i^2e_i\)，\(TT^*f_i=s_i^2f_i\)。然后可以证明 \(T^*T=TT^*\) 且 \(T\neq T^*\) 等价于 \(s_1=s_2\) 且 \(T\neq T^*\)（若 \(s_1\neq s_2\)，那么 \(e_1,f_1\) 都是 \(T^*T=TT^*\) 对应的一维本征空间 \(\null (S-s_1^2I)\) 对应的本征向量，从而非零向量 \(e_1,f_1\) 线性相关，必然有 \(Te_1=s_1f_1=c_1e_1\) 对某个 \(c_1\) 成立。同理得到 \(c_2\)，那么 \(T\) 关于 \(e_1,e_2\) 有对角矩阵，\(T\) 是自伴的，矛盾）。等价于 \(T\) 可以被表示为 \(s_1R\) 的形式，其中 \(s_1\neq 0\)，\(R\) 是等距同构且 \(R\neq R^*\)。

    结合引理 7.3.8，可知等价于 \(R\) 在任意（某组）标准正交基上对应的矩阵是 \(\begin{pmatrix}a&- b\\b & a\end{pmatrix}\) 的形式，其中 \(a,b\in\mathbb R\land a^2+b^2=1\land b\neq 0\)。

    如果 \(R\) 在标准正交基 \(e_1,e_2\) 上对应的矩阵是 \(\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\)，那么 \(R\) 在 \(e_2,e_1\) 上对应的矩阵是 \(\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\)，从而 3 一定成立。

  • 引理 9.2.2：设 \(T\in\L(V)\) 是正规的，\(U\) 是 \(V\) 的在 \(T\) 下不变的子空间。那么：

    1. \(U^\perp\) 在 \(T\) 下不变。
    2. \(U\) 在 \(T^*\) 下不变。
    3. \((T|_U)^*=(T^*)|_U\)。
    4. \(T|_U\in\L(U)\) 是正规算子。

    证明：任选 \(U\) 的一组标准正交基 \(e_1,\cdots,e_m\) 并将其扩充为 \(V\) 的一组基 \(e_1,\cdots,e_m,f_1,\cdots,f_k\)。

    考察 \(T\) 关于这组基的矩阵，那么必定形如 \(\begin{pmatrix}A&B\\0&C\end{pmatrix}\)，其中 \(A\) 是 \(m\times m\) 的，\(C\) 是 \(k\times k\) 的。\(T\) 是正规的，根据引理 7.1.14 可知 \(\sum_{i=1}^m\lv Te_i\rv^2=\sum_{i=1}^m\lv T^*e_i\rv^2\)，放到矩阵上就得到 \(B=0\)。

//引理 9.2.2 我并没有想出或找到脱离于基和矩阵的证明

  • 定理 9.2.3：设 \(\mathbb F=\mathbb R\)，\(T\in\L(V)\)，那么 \(T\) 是正规的当且仅当 \(T\) 关于 \(V\) 的某个标准正交基有分块对角矩阵，其中对角线上每个块要么是 \(1\times 1\) 的矩阵，要么是形如 \(\begin{pmatrix}a &-b\\b &a\end{pmatrix}\) 的 \(2\times 2\) 矩阵，其中 \(b>0\)。

    证明：联合定理 7.2.5、定理 9.1.5、引理 9.2.1、引理 9.2.2 立即可得。

  • 推论 9.2.4：设 \(\mathbb F=\mathbb R\)，\(S\in\L(V)\)，那么 \(S\) 是等距同构当且仅当 \(S\) 关于 \(V\) 的某个标准正交基有分块对角矩阵，其中对角线上每个块是 \(\begin{pmatrix}1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\cos\theta &-\sin\theta\\\sin\theta &\cos\theta\end{pmatrix}\) 中的一种，其中 \(\theta\in(0,\pi)\)。

posted @ 2024-02-14 21:18  ez_lcw  阅读(19)  评论(0)  编辑  收藏  举报