本章中将延续上一章的记号和假设,并且再假设 V , W V , W 都是有限维的内积空间。
7.1 自伴算子与正规算子
定义 7.1.1(伴随) :设 T ∈ L ( V , W ) T ∈ L ( V , W ) ,定义 T T 的伴随为函数 T ∗ : W → V T ∗ : W → V ,满足对任意的 v ∈ V , w ∈ W v ∈ V , w ∈ W 有 ⟨ T v , w ⟩ = ⟨ v , T ∗ w ⟩ ⟨ T v , w ⟩ = ⟨ v , T ∗ w ⟩ 。
为了理解好伴随算子的含义,我们要从更高更统一的角度思考(就好像为了理解好矩阵相似的含义,应该把它们理解为同一个线性变换在不同基底上的表示)。这里我们引入双线性泛函:⟨ v , w ⟩ ⟨ v , w ⟩ 是一个 V × W → F V × W → F 的函数,满足对于两个位置都是线性的,且关于第二个位置是共轭线性(即 ⟨ v , λ w ⟩ = ¯ ¯ ¯ λ ⟨ v , w ⟩ ⟨ v , λ w ⟩ = λ ¯ ⟨ v , w ⟩ )。那么选定 V , W V , W 的一组单位正交基 v 1 , ⋯ , v n v 1 , ⋯ , v n 和 w 1 , ⋯ , w m w 1 , ⋯ , w m ,确定所有的 ⟨ v i , w j ⟩ ⟨ v i , w j ⟩ 即可确定该双线性泛函。
同时,可以据此得到一个线性变换 T ∈ L ( V , W ) T ∈ L ( V , W ) ,使得 ⟨ v , w ⟩ = ⟨ T v , w ⟩ ⟨ v , w ⟩ = ⟨ T v , w ⟩ 对任意 v , w v , w 成立。那么 ⟨ T v i , w j ⟩ = ⟨ v i , w j ⟩ ⟨ T v i , w j ⟩ = ⟨ v i , w j ⟩ ,从而 ( ⟨ v i , w 1 ⟩ , ⋯ , ⟨ v i , w m ⟩ ) ( ⟨ v i , w 1 ⟩ , ⋯ , ⟨ v i , w m ⟩ ) 就是 T v i T v i 在 W W 中的坐标。
同理,也可以得到一个线性变换 T ∗ ∈ L ( W , V ) T ∗ ∈ L ( W , V ) ,使得 ⟨ v , w ⟩ = ⟨ v , T ∗ w ⟩ ⟨ v , w ⟩ = ⟨ v , T ∗ w ⟩ 对任意 v , w v , w 成立。那么 ⟨ T ∗ w i , v j ⟩ = ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ ⟨ v j , w i ⟩ ⟨ T ∗ w i , v j ⟩ = ⟨ v j , w i ⟩ ¯ ,从而 ( ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ ⟨ v 1 , w i ⟩ , ⋯ , ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ ⟨ v n , w i ⟩ ) ( ⟨ v 1 , w i ⟩ ¯ , ⋯ , ⟨ v n , w i ⟩ ¯ ) 就是 T ∗ w i T ∗ w i 在 V V 中的坐标。
由上述分析也可以看出,T T 和 T ∗ T ∗ 在 V V 和 W W 的标准正交基上的矩阵满足共轭转置的关系。
引理 7.1.2 :T ∗ T ∗ 是线性映射。
引理 7.1.3 :在适应的定义下:
( S + T ) ∗ = S ∗ + T ∗ ( S + T ) ∗ = S ∗ + T ∗ 。
( λ S ) ∗ = ¯ ¯ ¯ λ S ∗ ( λ S ) ∗ = λ ¯ S ∗ 。
( T ∗ ) ∗ = T ( T ∗ ) ∗ = T 。
I ∗ = I I ∗ = I ,这里 I ∈ L ( V ) I ∈ L ( V ) 。
( S T ) ∗ = T ∗ S ∗ ( S T ) ∗ = T ∗ S ∗ 。
证明 :设 T ∈ L ( V , U ) , S ∈ L ( U , W ) T ∈ L ( V , U ) , S ∈ L ( U , W ) ,它们分别确定了 V × U V × U 上的双线性泛函 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ V × U ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ V × U 和 U × W U × W 上的双线性泛函 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ U × W ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ U × W 。现定义 V × W V × W 上的双线性泛函,满足 ⟨ v , w ⟩ V × W = ⟨ T v , w ⟩ U × W ⟨ v , w ⟩ V × W = ⟨ T v , w ⟩ U × W 。一方面,⟨ v , w ⟩ V × W = ⟨ T v , w ⟩ U × W = ⟨ S T v , w ⟩ W × W ⟨ v , w ⟩ V × W = ⟨ T v , w ⟩ U × W = ⟨ S T v , w ⟩ W × W ;一方面,⟨ v , w ⟩ V × W = ⟨ T v , w ⟩ U × W = ⟨ T v , S ∗ w ⟩ U × U = ⟨ v , S ∗ w ⟩ V × U = ⟨ v , T ∗ S ∗ w ⟩ V × V ⟨ v , w ⟩ V × W = ⟨ T v , w ⟩ U × W = ⟨ T v , S ∗ w ⟩ U × U = ⟨ v , S ∗ w ⟩ V × U = ⟨ v , T ∗ S ∗ w ⟩ V × V 。
引理 7.1.4 :设 T ∈ L ( V , W ) T ∈ L ( V , W ) 。则 null T ∗ = ( range T ) ⊥ null T ∗ = ( range T ) ⊥ 。
证明 :条件都是 ⟨ v , w ⟩ = 0 ⟨ v , w ⟩ = 0 对任意 v v 成立。
(range T ⊥ range T ⊥ 里的 w w 要和任何 v v 正交,从而 T ∗ ( w ) = 0 T ∗ ( w ) = 0 )
定义 7.1.5(共轭转置) :略。
定理 7.1.6 :设 T ∈ L ( V , W ) T ∈ L ( V , W ) ,v 1 , ⋯ , v n v 1 , ⋯ , v n 是 V V 的标准正交基,w 1 , ⋯ , w m w 1 , ⋯ , w m 是 W W 的标准正交基。那么 M ( T , ( v 1 , ⋯ , v n ) , ( w 1 , ⋯ , w m ) ) M ( T , ( v 1 , ⋯ , v n ) , ( w 1 , ⋯ , w m ) ) 与 M ( T ∗ , ( w 1 , ⋯ , w m ) , ( v 1 , ⋯ , v n ) ) M ( T ∗ , ( w 1 , ⋯ , w m ) , ( v 1 , ⋯ , v n ) ) 互为共轭转置。
定义 7.1.7(自伴算子) :设 T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) 。称 T T 是自伴的,当且仅当 T = T ∗ T = T ∗ 。
下面为了区分,用 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ 0 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ 0 表示 V V 上本来就定义的内积,⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ 1 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ 1 表示 V V 上以 T T 定义的双线性泛函。
设 v 1 , ⋯ , v n v 1 , ⋯ , v n 是 V V 的一组基,根据上面的分析,为使得 T v i T v i 和 T ∗ v i T ∗ v i 相等,等价于 ⟨ v i , v j ⟩ 1 = ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ ⟨ v j , v i ⟩ 1 ⟨ v i , v j ⟩ 1 = ⟨ v j , v i ⟩ 1 ¯ 对任意 j j 成立。从而这等价于,这个 V V 上的双线性泛函具有共轭对称性。
或者从另一个角度,⟨ x , y ⟩ 1 = ⟨ x , T ∗ y ⟩ 0 ⟨ x , y ⟩ 1 = ⟨ x , T ∗ y ⟩ 0 ,¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ ⟨ y , x ⟩ 1 = ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ ⟨ T y , x ⟩ 0 = ⟨ x , T y ⟩ 0 ⟨ y , x ⟩ 1 ¯ = ⟨ T y , x ⟩ 0 ¯ = ⟨ x , T y ⟩ 0 ,那么 T = T ∗ ⟺ ∀ x , y , ⟨ x , y ⟩ 1 = ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ ⟨ y , x ⟩ 1 T = T ∗ ⟺ ∀ x , y , ⟨ x , y ⟩ 1 = ⟨ y , x ⟩ 1 ¯ (后推前只需取 x x 是一组单位正交基的每个基向量,y y 是 V V 中任意元素即可)。
共轭对称性的一个直接推论就是 ⟨ x , x ⟩ 1 ⟨ x , x ⟩ 1 一定是实的。
引理 7.1.8 :自伴算子关于加法和实数数乘封闭。
定理 7.1.9 :自伴算子的每个本征值都是实的。
证明 :设 λ ∈ F λ ∈ F 是 T T 的本征值,x ≠ 0 x ≠ 0 是其对应的一个本征向量,⟨ x , x ⟩ 1 = ⟨ T x , x ⟩ 0 = λ ⟨ x , x ⟩ 0 ⟨ x , x ⟩ 1 = ⟨ T x , x ⟩ 0 = λ ⟨ x , x ⟩ 0 ,从而 λ = ⟨ x , x ⟩ 1 ⟨ x , x ⟩ 0 ∈ R λ = ⟨ x , x ⟩ 1 ⟨ x , x ⟩ 0 ∈ R 。
(因为 ⟨ x , x ⟩ 1 ⟨ x , x ⟩ 1 是实的,而 ⟨ x , x ⟩ 1 = λ ⟨ x , x ⟩ 0 ⟨ x , x ⟩ 1 = λ ⟨ x , x ⟩ 0 )
事实上,当 T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) 时(不必自伴),T T 的本征值和 T ∗ T ∗ 的本征值形成互共轭的关系:假设 T x = λ x T x = λ x ,那么 ⟨ x , T ∗ y ⟩ 0 = ⟨ x , y ⟩ 1 = ⟨ T x , y ⟩ 0 = ⟨ λ x , y ⟩ 0 = ⟨ x , ¯ ¯ ¯ λ y ⟩ 0 ⟨ x , T ∗ y ⟩ 0 = ⟨ x , y ⟩ 1 = ⟨ T x , y ⟩ 0 = ⟨ λ x , y ⟩ 0 = ⟨ x , λ ¯ y ⟩ 0 对任意 y ∈ V y ∈ V 成立,那么 range ( T ∗ − ¯ ¯ ¯ λ I ) ⊆ span { x } T range ( T ∗ − λ ¯ I ) ⊆ span { x } T ,从而 T ∗ − ¯ ¯ ¯ λ I T ∗ − λ ¯ I 不是单的,即 ¯ ¯ ¯ λ λ ¯ 是 T ∗ T ∗ 的本征值。
如果 F = C F = C ,将会得到一些更强的结论:下面引理 7.1.10 说明了此时 ∀ x , ⟨ x , x ⟩ 1 = 0 ⟺ ∀ x , y , ⟨ x , y ⟩ 1 = 0 ∀ x , ⟨ x , x ⟩ 1 = 0 ⟺ ∀ x , y , ⟨ x , y ⟩ 1 = 0 ;引理 7.1.11 说明了此时双线性泛函具有共轭对称性就等价于 ∀ x , ⟨ x , x ⟩ 1 ∈ R ∀ x , ⟨ x , x ⟩ 1 ∈ R 。
引理 7.1.10 :设 F = C F = C ,T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) ,⟨ T v , v ⟩ = 0 ⟨ T v , v ⟩ = 0 对任意 v ∈ V v ∈ V 成立,则 T = 0 T = 0 。
证明 :此引理的证明依赖于,在 C C 上,任意 ⟨ x , y ⟩ 1 ⟨ x , y ⟩ 1 都能表示成若干 ⟨ v , v ⟩ 1 ⟨ v , v ⟩ 1 的组合的形式。注意到:
⟨ x + y , x + y ⟩ 1 − ⟨ x − y , x − y ⟩ 1 = 2 ⟨ x , y ⟩ 1 + 2 ⟨ y , x ⟩ 1 ⟨ x + i y , x + i y ⟩ 1 − ⟨ x − i y , x − i y ⟩ 1 = 2 ¯ i ⟨ x , y ⟩ 1 + 2 i ⟨ y , x ⟩ 1 ⟨ x + y , x + y ⟩ 1 − ⟨ x − y , x − y ⟩ 1 = 2 ⟨ x , y ⟩ 1 + 2 ⟨ y , x ⟩ 1 ⟨ x + i y , x + i y ⟩ 1 − ⟨ x − i y , x − i y ⟩ 1 = 2 i ¯ ⟨ x , y ⟩ 1 + 2 i ⟨ y , x ⟩ 1
于是:
⟨ x , y ⟩ 1 = 1 4 ( ( ⟨ x + y , x + y ⟩ 1 − ⟨ x − y , x − y ⟩ 1 ) + i ( ⟨ x + i y , x + i y ⟩ 1 − ⟨ x − i y , x − i y ⟩ 1 ) ) ⟨ x , y ⟩ 1 = 1 4 ( ( ⟨ x + y , x + y ⟩ 1 − ⟨ x − y , x − y ⟩ 1 ) + i ( ⟨ x + i y , x + i y ⟩ 1 − ⟨ x − i y , x − i y ⟩ 1 ) )
从而 ⟨ x , y ⟩ 1 = 0 ⟨ x , y ⟩ 1 = 0 对任意 x , y ∈ V x , y ∈ V 都成立,那么 T = 0 T = 0 。
引理 7.1.10 在 F = R F = R 时有一个反例:V = R 2 V = R 2 ,T T 是将向量逆时针旋转 90 ∘ 90 ∘ 的变换。
引理 7.1.11 :设 F = C F = C ,T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) 。那么 T T 是自伴的当且仅当 ⟨ T v , v ⟩ ∈ R ⟨ T v , v ⟩ ∈ R 对任意 v ∈ V v ∈ V 成立。
证明 :一种方法是类似引理 7.1.10,将任意 ⟨ x , y ⟩ 1 ⟨ x , y ⟩ 1 先拆解成 ⟨ v , v ⟩ 1 ⟨ v , v ⟩ 1 的组合,再利用 ⟨ v , v ⟩ 1 ∈ R ⟨ v , v ⟩ 1 ∈ R 证明:
¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ ⟨ x , y ⟩ 1 = 1 4 ( ( ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ ⟨ x + y , x + y ⟩ 1 − ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ ⟨ x − y , x − y ⟩ 1 ) + ¯ i ( ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ ⟨ x + i y , x + i y ⟩ 1 − ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ ⟨ x − i y , x − i y ⟩ 1 ) ) = 1 4 ( ( ⟨ x + y , x + y ⟩ 1 − ⟨ x − y , x − y ⟩ 1 ) + ¯ i ( ⟨ x + i y , x + i y ⟩ 1 − ⟨ x − i y , x − i y ⟩ 1 ) ) = 1 4 ( ( ⟨ y + x , y + x ⟩ 1 − ⟨ y − x , y − x ⟩ 1 ) + i ( ⟨ x − i y , x − i y ⟩ 1 − ⟨ x + i y , x + i y ⟩ 1 ) ) = 1 4 ( ( ⟨ y + x , y + x ⟩ 1 − ⟨ y − x , y − x ⟩ 1 ) + i ( ⟨ y + i x , y + i x ⟩ 1 − ⟨ y − i x , y − i x ⟩ 1 ) ) = ⟨ y , x ⟩ 1 ⟨ x , y ⟩ 1 ¯ = 1 4 ( ( ⟨ x + y , x + y ⟩ 1 ¯ − ⟨ x − y , x − y ⟩ 1 ¯ ) + i ¯ ( ⟨ x + i y , x + i y ⟩ 1 ¯ − ⟨ x − i y , x − i y ⟩ 1 ¯ ) ) = 1 4 ( ( ⟨ x + y , x + y ⟩ 1 − ⟨ x − y , x − y ⟩ 1 ) + i ¯ ( ⟨ x + i y , x + i y ⟩ 1 − ⟨ x − i y , x − i y ⟩ 1 ) ) = 1 4 ( ( ⟨ y + x , y + x ⟩ 1 − ⟨ y − x , y − x ⟩ 1 ) + i ( ⟨ x − i y , x − i y ⟩ 1 − ⟨ x + i y , x + i y ⟩ 1 ) ) = 1 4 ( ( ⟨ y + x , y + x ⟩ 1 − ⟨ y − x , y − x ⟩ 1 ) + i ( ⟨ y + i x , y + i x ⟩ 1 − ⟨ y − i x , y − i x ⟩ 1 ) ) = ⟨ y , x ⟩ 1
另一种方法是考察双线性泛函 ⟨ x , y ⟩ 2 = ⟨ x , y ⟩ 1 − ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ ⟨ y , x ⟩ 1 ⟨ x , y ⟩ 2 = ⟨ x , y ⟩ 1 − ⟨ y , x ⟩ 1 ¯ 。那么 ⟨ v , v ⟩ 2 = 0 ⟨ v , v ⟩ 2 = 0 对任意 v ∈ V v ∈ V 成立,从而根据引理 7.1.10 可知 ⟨ x , y ⟩ 2 = 0 ⟨ x , y ⟩ 2 = 0 对任意 x , y ∈ V x , y ∈ V 成立。
在 F = R F = R 时,引理 7.1.11 等价的两个条件中后者是恒成立的,从而易见引理 7.1.11 此时并不成立。
观察引理 7.1.10 的证明,发现在 F = R F = R 时,若该双线性泛函满足对称性,即 T T 是自伴的,也能使结论成立。
引理 7.1.12 :设 F = R F = R ,T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) 是自伴算子,⟨ T v , v ⟩ = 0 ⟨ T v , v ⟩ = 0 对任意 v ∈ V v ∈ V 成立,则 T = 0 T = 0 。
证明 :此时 ⟨ x + y , x + y ⟩ 1 − ⟨ x − y , x − y ⟩ 1 = 2 ⟨ x , y ⟩ 1 + 2 ⟨ y , x ⟩ 1 = 4 ⟨ x , y ⟩ 1 ⟨ x + y , x + y ⟩ 1 − ⟨ x − y , x − y ⟩ 1 = 2 ⟨ x , y ⟩ 1 + 2 ⟨ y , x ⟩ 1 = 4 ⟨ x , y ⟩ 1 。
根据引理 7.1.4,立即可得自伴算子的零空间和值域空间互为正交补。
定义 7.1.13(正规算子) :设 T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) 。称 T T 是正规的,当且仅当 T T ∗ = T ∗ T T T ∗ = T ∗ T 。
由于自伴算子满足 T = T ∗ T = T ∗ ,所以自伴算子一定是正规的。那么,下述关于正规算子的论断也一定适用于自伴算子。
引理 7.1.14 :设 T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) 。那么 T T 是正规的当且仅当 ∥ T v ∥ = ∥ T ∗ v ∥ ‖ T v ‖ = ‖ T ∗ v ‖ 对任意 v ∈ V v ∈ V 成立。
证明 :⟨ T v , T v ⟩ 0 = ⟨ T ∗ T v , v ⟩ 0 ⟨ T v , T v ⟩ 0 = ⟨ T ∗ T v , v ⟩ 0 ,⟨ T ∗ v , T ∗ v ⟩ 0 = ⟨ T T ∗ v , v ⟩ 0 ⟨ T ∗ v , T ∗ v ⟩ 0 = ⟨ T T ∗ v , v ⟩ 0 。而 T ∗ T − T T ∗ T ∗ T − T T ∗ 是自伴算子,根据引理 7.1.10 和 7.1.12,无论 F = C F = C 还是 F = R F = R ,都有 T ∗ T = T T ∗ ⟺ ∀ v , ⟨ T ∗ T v , v ⟩ 0 = ⟨ T T ∗ v , v ⟩ 0 T ∗ T = T T ∗ ⟺ ∀ v , ⟨ T ∗ T v , v ⟩ 0 = ⟨ T T ∗ v , v ⟩ 0 。
引理 7.1.14 的一个推论是 null T = null T ∗ null T = null T ∗ ,从而 range T = ( null T ∗ ) ⊥ = ( null T ) ⊥ = range T ∗ range T = ( null T ∗ ) ⊥ = ( null T ) ⊥ = range T ∗ 。从而,正交算子的零空间和值域空间也互为正交补。
引理 7.1.15 :设 T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) 是正规算子,v ∈ V v ∈ V 是 T T 的本征值 λ ∈ F λ ∈ F 对应的本征向量,那么 v v 也是 T ∗ T ∗ 的特征值 ¯ ¯ ¯ λ λ ¯ 的本征向量。
证明 :¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ ⟨ T ∗ v , v ⟩ 0 = ⟨ v , v ⟩ 1 = ⟨ T v , v ⟩ 0 ⟨ T ∗ v , v ⟩ 0 ¯ = ⟨ v , v ⟩ 1 = ⟨ T v , v ⟩ 0 ,又 ∥ T v ∥ = ∥ T ∗ v ∥ ‖ T v ‖ = ‖ T ∗ v ‖ ,而 T v T v 和 v v 共线,所以一定有 T ∗ v = T v T ∗ v = T v ,否则 ∥ T ∗ v ∥ > ∥ T v ∥ ‖ T ∗ v ‖ > ‖ T v ‖ 。
具体来说,将 T ∗ v T ∗ v 关于 v v 做正交分解 T ∗ v = k v + w T ∗ v = k v + w ,其中 ⟨ v , w ⟩ = 0 ⟨ v , w ⟩ = 0 。那么 ⟨ λ v , v ⟩ 0 = ⟨ T v , v ⟩ 0 = ⟨ v , T ∗ v ⟩ 0 = ⟨ v , k v ⟩ 0 ⟨ λ v , v ⟩ 0 = ⟨ T v , v ⟩ 0 = ⟨ v , T ∗ v ⟩ 0 = ⟨ v , k v ⟩ 0 ,于是 k = ¯ ¯ ¯ λ k = λ ¯ 。从而 T ∗ v = ¯ ¯ ¯ λ v + w T ∗ v = λ ¯ v + w ,运用勾股定理,可以得到 ∥ T ∗ v ∥ 2 = ∥ ¯ ¯ ¯ λ v ∥ 2 + ∥ w ∥ 2 ‖ T ∗ v ‖ 2 = ‖ λ ¯ v ‖ 2 + ‖ w ‖ 2 ,得到 w = 0 w = 0 。
另一种证明方法是,T , T ∗ T , T ∗ 交换蕴含 T − λ I , T ∗ − ¯ ¯ ¯ λ I T − λ I , T ∗ − λ ¯ I 交换,再利用引理 7.1.14 得证。
也就是说,对任意 w w ,都有 ⟨ v , w ⟩ 1 = λ ⟨ v , w ⟩ 0 ⟨ v , w ⟩ 1 = λ ⟨ v , w ⟩ 0 和 ⟨ w , v ⟩ 1 = λ ⟨ w , v ⟩ 0 ⟨ w , v ⟩ 1 = λ ⟨ w , v ⟩ 0 。
引理 7.1.16 :设 T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) 是正规算子。则 T T 的不同本征值对应的本征向量是正交的。
证明 :设 λ , μ ∈ F λ , μ ∈ F 是 T T 的不同的本征值,v , w ∈ F v , w ∈ F 是它们各自对应的本征向量。那么 ⟨ T v , w ⟩ 0 = ⟨ λ v , w ⟩ 0 = λ ⟨ v , w ⟩ 0 ⟨ T v , w ⟩ 0 = ⟨ λ v , w ⟩ 0 = λ ⟨ v , w ⟩ 0 且 ⟨ v , T ∗ w ⟩ 0 = ⟨ v , ¯ ¯ ¯ μ w ⟩ 0 = μ ⟨ v , w ⟩ 0 ⟨ v , T ∗ w ⟩ 0 = ⟨ v , μ ¯ w ⟩ 0 = μ ⟨ v , w ⟩ 0 ,从而 ⟨ v , w ⟩ 0 = 0 ⟨ v , w ⟩ 0 = 0 。
//实数与自伴算子的类比,复数与算子的类比
//正规算子的本质
7.2 谱定理
定理 7.2.1(复谱定理) :设 F = C F = C ,T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) 。那么 T T 是正规算子,当且仅当 T T 关于 V V 的某组标准正交基有对角矩阵。
证明 :=>:由定理 6.2.10,T T 关于 V V 的某组标准正交基 e 1 , ⋯ , e n e 1 , ⋯ , e n 有上三角矩阵 A A 。那么 ∥ T e 1 ∥ = ∥ A 1 , 1 e 1 + ⋯ + A n , 1 e n ∥ = | A 1 , 1 | 2 + ⋯ + | A n , 1 | 2 = | A 1 , 1 | 2 ‖ T e 1 ‖ = ‖ A 1 , 1 e 1 + ⋯ + A n , 1 e n ‖ = | A 1 , 1 | 2 + ⋯ + | A n , 1 | 2 = | A 1 , 1 | 2 ,∥ T ∗ e 1 ∥ = ∥ ¯ ¯¯¯¯¯¯¯ ¯ A 1 , 1 e 1 + ⋯ ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ A 1 , n e n ∥ = | A 1 , 1 | 2 + ⋯ + | A 1 , n | 2 ‖ T ∗ e 1 ‖ = ‖ A 1 , 1 ¯ e 1 + ⋯ A 1 , n ¯ e n ‖ = | A 1 , 1 | 2 + ⋯ + | A 1 , n | 2 ,于是 A 1 , 2 = ⋯ = A 1 , n = 0 A 1 , 2 = ⋯ = A 1 , n = 0 。重复此过程即可证明 A A 是对角矩阵。
另一种证法:假设我们找到了 T T 的一个特征向量 v v ,那么根据引理 7.1.15 span { v } span { v } 同时是 T T 和 T ∗ T ∗ 下不变的子空间,然后再根据引理 7.2.4 递归构造即可。
<=:T ∗ T ∗ 在这组基上的矩阵是 T T 在这组基上的矩阵的共轭转置,也是对角矩阵,而对角矩阵的乘积显然是可交换的。
引理 7.2.2 :设 T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) 是自伴算子,b , c ∈ R b , c ∈ R 满足 b 2 − 4 c < 0 b 2 − 4 c < 0 ,那么 T 2 + b T + c I T 2 + b T + c I 是可逆的。
证明 :反证,假设存在 v ≠ 0 v ≠ 0 使得 ( T 2 + b T + c I ) v = 0 ( T 2 + b T + c I ) v = 0 。由于 b 2 − 4 c < 0 b 2 − 4 c < 0 ,所以可以分解为 ( ( T + d I ) 2 + e 2 I ) v = 0 ( ( T + d I ) 2 + e 2 I ) v = 0 的形式,其中 d , e ∈ R ∧ e ≠ 0 d , e ∈ R ∧ e ≠ 0 。而 ⟨ ( ( T + d I ) 2 + e 2 I ) v , v ⟩ = ⟨ ( T + d I ) 2 v , v ⟩ + ⟨ e 2 v , v ⟩ = ⟨ ( T + d I ) v , ( T + d I ) v ⟩ + e 2 ⟨ v , v ⟩ > 0 ⟨ ( ( T + d I ) 2 + e 2 I ) v , v ⟩ = ⟨ ( T + d I ) 2 v , v ⟩ + ⟨ e 2 v , v ⟩ = ⟨ ( T + d I ) v , ( T + d I ) v ⟩ + e 2 ⟨ v , v ⟩ > 0 (注意 T + d I T + d I 也是自伴的),矛盾。
引理 7.2.3 :设 F = R F = R ,V ≠ { 0 } V ≠ { 0 } ,T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) 是自伴算子,则 T T 有本征值。
证明 :类似引理 5.2.3,可以找到 p ∈ P ( R ) ∧ p ≠ 0 p ∈ P ( R ) ∧ p ≠ 0 和 v ∈ V ∧ v ≠ 0 v ∈ V ∧ v ≠ 0 使得 p ( T ) v = 0 p ( T ) v = 0 。此时可以将 p p 分解为 p ( x ) = c ( x 2 + b 1 x + c 1 ) ⋯ ( x 2 + b M x + c M ) ( x − λ 1 ) ⋯ ( x − λ m ) p ( x ) = c ( x 2 + b 1 x + c 1 ) ⋯ ( x 2 + b M x + c M ) ( x − λ 1 ) ⋯ ( x − λ m ) ,其中 c , b i , c i , λ i c , b i , c i , λ i 都是实数,c c 非零,且 b 2 i − 4 c i < 0 b i 2 − 4 c i < 0 对任意 i i 成立。根据引理 7.2.2 知 ( T 2 + b i T + c i I ) ( T 2 + b i T + c i I ) 是可逆的,而 p ( T ) v = 0 p ( T ) v = 0 从而 p ( T ) p ( T ) 不可逆,那么就一定存在某个 ( T − λ i I ) ( T − λ i I ) 不是可逆的,也即 T T 有本征值。
引理 7.2.4 :设 T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) ,U U 是 V V 的在 T T 下不变的子空间。那么 U ⊥ U ⊥ 也在 T ∗ T ∗ 下不变。
证明 :U U 在 T T 下不变,说明所有的 v ∈ U , w ∈ U ⊥ v ∈ U , w ∈ U ⊥ 的双线性泛函 ⟨ v , w ⟩ 1 ⟨ v , w ⟩ 1 都是 0 0 ,那么 U ⊥ U ⊥ 在 T ∗ T ∗ 下也应不变。
定理 7.2.5(实谱定理) :设 F = R F = R ,T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) 。那么 T T 是自伴算子,当且仅当 T T 关于 V V 的某组标准正交基有对角矩阵。
证明 :=>:利用引理 7.2.3 和引理 7.2.4 立即可得。
另一种证法是,我们先证明 T T 的特征多项式是可以完全分解的:将 T T 的特征多项式在 C C 上分解,那么这个多项式的所有根都应该是实的,因为这个多项式同时也是 C n C n 上自伴算子 x ↦ M ( T ) x x ↦ M ( T ) x 对应的特征多项式。那么 T T 关于 V V 的某组标准正交基有上三角矩阵,那么再类似定理 7.2.1 的证明方法(或者直接用 T = T ∗ T = T ∗ 和 M ( T ) M ( T ) 是上三角的推出 M ( T ) M ( T ) 是对角的)证明即可。
<=:实对角矩阵显然是共轭对称的。
//实空间上的任意两个对称双线性泛函是否都有一组共同的正交基?
7.3 正算子与等距同构
定义 7.3.1(正算子) :设 T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) 。称 T T 是正的,当且仅当 T T 是自伴的且对任意 v ∈ V v ∈ V 有 ⟨ T v , v ⟩ ≥ 0 ⟨ T v , v ⟩ ≥ 0 。
正算子对应于满足正性、共轭对称性的双线性泛函。
当 F = C F = C 时,⟨ v , v ⟩ 1 ∈ R ⟨ v , v ⟩ 1 ∈ R 对任意 v ∈ V v ∈ V 成立就已经说明双线性泛函满足共轭对称性(根据引理 7.1.11),从而此时只需验证正性即可。
定义 7.3.2(平方根) :设 R , T ∈ L ( V ) R , T ∈ L ( V ) 。称 R R 是 T T 的平方根,当且仅当 R 2 = T R 2 = T 。
引理 7.3.3 :设 T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) ,那么下述条件等价:
T T 是正的。
T T 是自伴的且 T T 的所有本征值非负。
T T 有正的平方根。
T T 有自伴的平方根。
存在算子 R ∈ L ( V ) R ∈ L ( V ) 使得 T = R ∗ R T = R ∗ R 。
证明 :1,2,3,4 等价都是简单地利用实谱定理即可。1->4 已经蕴含了 1->5。
5->1:首先 R ∗ R R ∗ R 是自伴的,且对于任意 v ∈ V v ∈ V ,⟨ R ∗ R v , v ⟩ = ⟨ R v , R v ⟩ ≥ 0 ⟨ R ∗ R v , v ⟩ = ⟨ R v , R v ⟩ ≥ 0 。
定义 7.3.4(正算子的算术平方根) :设 T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) 是正算子,那么存在唯一的正算子 R ∈ L ( V ) R ∈ L ( V ) 使得 R 2 = T R 2 = T ,将其定义为 √ T T 。
证明 :可以将 V V 做关于 R R 的特征空间分解:V = E ( λ 1 , R ) ⊕ ⋯ ⊕ E ( λ m , R ) V = E ( λ 1 , R ) ⊕ ⋯ ⊕ E ( λ m , R ) ,其中两两不同的 λ i λ i 都是非负数。容易证明 E ( λ i , R ) ⊆ E ( λ 2 i , R 2 ) E ( λ i , R ) ⊆ E ( λ i 2 , R 2 ) ,而直和关系 E ( λ 2 1 , R 2 ) ⊕ ⋯ ⊕ E ( λ 2 m , R 2 ) E ( λ 1 2 , R 2 ) ⊕ ⋯ ⊕ E ( λ m 2 , R 2 ) 本身就成立,所以易得 E ( λ i , R ) = E ( λ 2 i , R 2 ) E ( λ i , R ) = E ( λ i 2 , R 2 ) 且 V = E ( λ 2 1 , R 2 ) ⊕ ⋯ ⊕ E ( λ 2 m , R 2 ) V = E ( λ 1 2 , R 2 ) ⊕ ⋯ ⊕ E ( λ m 2 , R 2 ) 。这是 T = R 2 T = R 2 的本征空间分解,是唯一确定的,从而 λ 1 , ⋯ , λ m λ 1 , ⋯ , λ m 应该恰为 T T 的所有本征值的算术平方根,而 E ( λ i , R ) = E ( λ 2 i , R 2 ) E ( λ i , R ) = E ( λ i 2 , R 2 ) 应该恰为 T T 的该本征值对应的本征空间,从而 R R 被唯一确定。
定义 7.3.5(等距同构) :设 S ∈ L ( V ) S ∈ L ( V ) 。称 S S 是等距同构,当且仅当 ∥ S v ∥ = ∥ v ∥ ‖ S v ‖ = ‖ v ‖ 对任意 v ∈ V v ∈ V 成立。
引理 7.3.6 :设 S ∈ L ( V ) S ∈ L ( V ) ,那么下述条件等价:
S S 是等距同构。
⟨ S u , S v ⟩ = ⟨ u , v ⟩ ⟨ S u , S v ⟩ = ⟨ u , v ⟩ 对任意 u , v ∈ V u , v ∈ V 成立。
对于任意 V V 的标准正交基 e 1 , ⋯ , e n e 1 , ⋯ , e n 有 S e 1 , ⋯ , S e n S e 1 , ⋯ , S e n 也是标准正交的。
存在 V V 的标准正交基 e 1 , ⋯ , e n e 1 , ⋯ , e n 满足 S e 1 , ⋯ , S e n S e 1 , ⋯ , S e n 也是标准正交的。
S S ∗ = I S S ∗ = I 。
S ∗ S = I S ∗ S = I 。
S ∗ S ∗ 是等距同构。
S S 是可逆的且 S − 1 = S ∗ S − 1 = S ∗ 。
证明 :1->2:⟨ S u , S v ⟩ = ⟨ S ∗ S u , v ⟩ ⟨ S u , S v ⟩ = ⟨ S ∗ S u , v ⟩ ,而 S ∗ S S ∗ S 是自伴算子,从而 ⟨ u , v ⟩ 1 ⟨ u , v ⟩ 1 可以用 ⟨ x , x ⟩ 1 ⟨ x , x ⟩ 1 表示。
2->3,3->4 显然,4->1:∥ S v ∥ = ∥ S ( a 1 e 1 + ⋯ + a n e n ) ∥ = ∥ a 1 S e 1 + ⋯ + a n S e n ∥ = | a 1 | 2 + ⋯ + | a n | 2 = ∥ v ∥ ‖ S v ‖ = ‖ S ( a 1 e 1 + ⋯ + a n e n ) ‖ = ‖ a 1 S e 1 + ⋯ + a n S e n ‖ = | a 1 | 2 + ⋯ + | a n | 2 = ‖ v ‖ 。
2<->5,6 显然。1<->7 根据 1<->5,6 可知(也可以通过 5,6 得知 S S 是正规算子来证明)。5,6<->8 显然。
引理 7.3.7 :设 F = C F = C ,S ∈ L ( V ) S ∈ L ( V ) 。那么 S S 是等距同构当且仅当 S S 关于 V V 的某组标准正交基有对角矩阵,且对角线上元素的绝对值均为 1 1 (注意有可能是复数)。
证明 :=>:正规所以有对角阵。等距所以特征值绝对值只能是 1 1 。
<=:显然这组基作用 S S 后仍然保持标准正交性。
引理 7.3.8 :设 S ∈ L ( V ) S ∈ L ( V ) 是等距同构。M M 是 S S 关于 V V 的某组标准正交基的矩阵。那么对于任意 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ i ≤ n ,∑ n j = 1 | M i , j | 2 = ∑ n j = 1 | M j , i | 2 = 1 ∑ j = 1 n | M i , j | 2 = ∑ j = 1 n | M j , i | 2 = 1 。
证明 :1 = ∥ S e i ∥ = ∥ M 1 , i e 1 + ⋯ + M n , i e n ∥ = | M 1 , i | 2 + ⋯ + | M n , i | 2 1 = ‖ S e i ‖ = ‖ M 1 , i e 1 + ⋯ + M n , i e n ‖ = | M 1 , i | 2 + ⋯ + | M n , i | 2 。
7.4 极分解与奇异值分解
定理 7.4.1(极分解) :设 T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) 。那么存在等距同构 S ∈ L ( V ) S ∈ L ( V ) 使得 T = S √ T ∗ T T = S T ∗ T 。
证明 :记 R = √ T ∗ T R = T ∗ T 。那么 ⟨ T u , T v ⟩ = ⟨ R u , R v ⟩ ⟨ T u , T v ⟩ = ⟨ R u , R v ⟩ 且 R R 是正算子。现在要找到一个等距同构 S S 使得 T = S R T = S R 。
那么显然对 range R range R 中的元素要求 S ( R v ) = T v S ( R v ) = T v 。该定义是良的:R v 1 = R v 2 ⟹ ⟨ T ( v 1 − v 2 ) , T ( v 1 − v 2 ) ⟩ = ⟨ R ( v 1 − v 2 ) , R ( v 1 − v 2 ) ⟩ = 0 ⟹ T v 1 = T v 2 R v 1 = R v 2 ⟹ ⟨ T ( v 1 − v 2 ) , T ( v 1 − v 2 ) ⟩ = ⟨ R ( v 1 − v 2 ) , R ( v 1 − v 2 ) ⟩ = 0 ⟹ T v 1 = T v 2 。且容易看出 S S 在 range R range R 上根据我们的定义是线性映射。S S 在 range R range R 上也是等距的:⟨ S R u , S R v ⟩ = ⟨ T u , T v ⟩ = ⟨ R u , R v ⟩ ⟨ S R u , S R v ⟩ = ⟨ T u , T v ⟩ = ⟨ R u , R v ⟩ 。
接下来我们只需将 S S 扩充即可,任选 ( range R ) ⊥ ( range R ) ⊥ 的一组正交基 e 1 , ⋯ , e m e 1 , ⋯ , e m 和 ( range T ) ⊥ ( range T ) ⊥ 的一组正交基 f 1 , ⋯ , f m f 1 , ⋯ , f m ,然后将 S e i S e i 映到 f i f i 即可。再利用引理 7.3.6.4,即可证明 S S 是等距同构。
定义 7.4.2(奇异值) :设 T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) ,定义 T T 的奇异值就是 √ T ∗ T T ∗ T 的本征值(计重数)。
//T T 的奇异值是否一定包含 T T 的非负的本征值?
定理 7.4.3(奇异值分解) :设 T ∈ L ( V ) T ∈ L ( V ) 有奇异值 s 1 , ⋯ , s n s 1 , ⋯ , s n 。则存在 V V 的两组标准正交基 e 1 , ⋯ , e n e 1 , ⋯ , e n 和 f 1 , ⋯ , f n f 1 , ⋯ , f n ,使得 T v = s 1 ⟨ v , e 1 ⟩ f 1 + ⋯ + s n ⟨ v , e n ⟩ f n T v = s 1 ⟨ v , e 1 ⟩ f 1 + ⋯ + s n ⟨ v , e n ⟩ f n 对任意 v ∈ V v ∈ V 成立。
证明 :记 R = √ T ∗ T R = T ∗ T 。那么存在一组 V V 的标准正交基 e 1 , ⋯ , e n e 1 , ⋯ , e n ,使得 R e i = s i e i R e i = s i e i 对任意 i i 成立。根据极分解,存在等距同构 T = S R T = S R ,令 f i = S e i f i = S e i 即可。
奇异值分解的矩阵形式是:M ( T , ( e 1 , ⋯ , e n ) , ( f 1 , ⋯ , f n ) ) = ⎛ ⎜
⎜ ⎝ s 1 0 ⋱ 0 s n ⎞ ⎟
⎟ ⎠ M ( T , ( e 1 , ⋯ , e n ) , ( f 1 , ⋯ , f n ) ) = ( s 1 0 ⋱ 0 s n ) 。
那么可知 T ∗ T ∗ 的矩阵形式是:M ( T ∗ , ( f 1 , ⋯ , f n ) , ( e 1 , ⋯ , e n ) ) = ⎛ ⎜
⎜ ⎝ s 1 0 ⋱ 0 s n ⎞ ⎟
⎟ ⎠ M ( T ∗ , ( f 1 , ⋯ , f n ) , ( e 1 , ⋯ , e n ) ) = ( s 1 0 ⋱ 0 s n )
//习题与总结
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