第七章 内积空间上的算子

$\newcommand{\L}{\mathcal L}\newcommand{\M}{\mathcal M}\newcommand{\l}{\langle}\newcommand{\r}{\rangle}\newcommand{\lv}{\lVert}\newcommand{\rv}{\rVert}\newcommand{\span}{\operatorname{span}}\newcommand{\null}{\operatorname{null}}\newcommand{\range}{\operatorname{range}}$

本章中将延续上一章的记号和假设，并且再假设 $V,W$ 都是有限维的内积空间。

7.1 自伴算子与正规算子

• 定义 7.1.1（伴随）：设 $T\in\L(V,W)$，定义 $T$ 的伴随为函数 $T^*:W\to V$，满足对任意的 $v\in V,w\in W$ 有 $\l Tv,w\r=\l v,T^*w\r$。

为了理解好伴随算子的含义，我们要从更高更统一的角度思考（就好像为了理解好矩阵相似的含义，应该把它们理解为同一个线性变换在不同基底上的表示）。这里我们引入双线性泛函：$\l v,w\r$ 是一个 $V\times W\to\mathbb F$ 的函数，满足对于两个位置都是线性的，且关于第二个位置是共轭线性（即 $\l v,\lambda w\r=\overline{\lambda}\l v,w\r$）。那么选定 $V,W$ 的一组单位正交基 $v_1,\cdots,v_n$ 和 $w_1,\cdots,w_m$，确定所有的 $\l v_i,w_j\r$ 即可确定该双线性泛函。

同时，可以据此得到一个线性变换 $T\in\L(V,W)$，使得 $\l v,w\r=\l Tv,w\r$ 对任意 $v,w$ 成立。那么 $\l Tv_i,w_j\r=\l v_i,w_j\r$，从而 $\bigg(\l v_i,w_1\r,\cdots,\l v_i,w_m\r\bigg)$ 就是 $Tv_i$ 在 $W$ 中的坐标。

同理，也可以得到一个线性变换 $T^*\in\L(W,V)$，使得 $\l v,w\r=\l v,T^*w\r$ 对任意 $v,w$ 成立。那么 $\l T^*w_i,v_j\r=\overline{\l v_j,w_i\r}$，从而 $\bigg(\overline{\l v_1,w_i\r},\cdots,\overline{\l v_n,w_i\r}\bigg)$ 就是 $T^*w_i$ 在 $V$ 中的坐标。

由上述分析也可以看出，$T$ 和 $T^*$ 在 $V$ 和 $W$ 的标准正交基上的矩阵满足共轭转置的关系。

• 引理 7.1.2：$T^*$ 是线性映射。

• 引理 7.1.3：在适应的定义下：

  1. $(S+T)^*=S^*+T^*$。

  2. $(\lambda S)^*=\overline{\lambda}S^*$。

  3. $(T^*)^*=T$。

  4. $I^*=I$，这里 $I\in\L(V)$。

  5. $(ST)^*=T^*S^*$。

     证明：设 $T\in\L(V,U),S\in\L(U,W)$，它们分别确定了 $V\times U$ 上的双线性泛函 $\l\cdot,\cdot\r_{V\times U}$ 和 $U\times W$ 上的双线性泛函 $\l \cdot,\cdot\r_{U\times W}$。现定义 $V\times W$ 上的双线性泛函，满足 $\l v,w\r_{V\times W}=\l Tv,w\r_{U\times W}$。一方面，$\l v,w\r_{V\times W}=\l Tv,w\r_{U\times W}=\l STv,w\r_{W\times W}$；一方面，$\l v,w\r_{V\times W}=\l Tv,w\r_{U\times W}=\l Tv,S^*w\r_{U\times U}=\l v,S^*w\r_{V\times U}=\l v,T^*S^*w\r_{V\times V}$。

• 引理 7.1.4：设 $T\in\L(V,W)$。则 $\null T^*=(\range T)^{\perp}$。

  证明：条件都是 $\l v,w\r=0$ 对任意 $v$ 成立。

  （$\range T^{\perp}$ 里的 $w$ 要和任何 $v$ 正交，从而 $T^*(w)=0$）

• 定义 7.1.5（共轭转置）：略。

• 定理 7.1.6：设 $T\in \L(V,W)$，$v_1,\cdots,v_n$ 是 $V$ 的标准正交基，$w_1,\cdots,w_m$ 是 $W$ 的标准正交基。那么 $\M(T,(v_1,\cdots,v_n),(w_1,\cdots,w_m))$ 与 $\M(T^*,(w_1,\cdots,w_m),(v_1,\cdots,v_n))$ 互为共轭转置。

• 定义 7.1.7（自伴算子）：设 $T\in\L(V)$。称 $T$ 是自伴的，当且仅当 $T=T^*$。

下面为了区分，用 $\l\cdot,\cdot\r_0$ 表示 $V$ 上本来就定义的内积，$\l \cdot,\cdot\r_1$ 表示 $V$ 上以 $T$ 定义的双线性泛函。

设 $v_1,\cdots,v_n$ 是 $V$ 的一组基，根据上面的分析，为使得 $Tv_i$ 和 $T^*v_i$ 相等，等价于 $\l v_i,v_j\r_1=\overline{\l v_j,v_i\r_1}$ 对任意 $j$ 成立。从而这等价于，这个 $V$ 上的双线性泛函具有共轭对称性。

或者从另一个角度，$\l x,y\r_{1}=\l x,T^*y\r_0$，$\overline{\l y,x\r_1}=\overline{\l Ty,x\r_0}=\l x,Ty\r_0$，那么 $T=T^*\iff \forall_{x,y},\l x,y\r_1=\overline{\l y,x\r_1}$（后推前只需取 $x$ 是一组单位正交基的每个基向量，$y$ 是 $V$ 中任意元素即可）。

共轭对称性的一个直接推论就是 $\l x,x\r_1$ 一定是实的。

• 引理 7.1.8：自伴算子关于加法和实数数乘封闭。

• 定理 7.1.9：自伴算子的每个本征值都是实的。

  证明：设 $\lambda\in\mathbb F$ 是 $T$ 的本征值，$x\neq 0$ 是其对应的一个本征向量，$\l x,x\r_1=\l Tx,x\r_0=\lambda\l x,x\r_0$，从而 $\lambda=\frac{\l x,x\r_1}{\l x,x\r_0}\in\mathbb R$。

  （因为 $\l x,x\r_1$ 是实的，而 $\l x,x\r_1=\lambda \l x,x\r_0$）

事实上，当 $T\in\L(V)$ 时（不必自伴），$T$ 的本征值和 $T^*$ 的本征值形成互共轭的关系：假设 $Tx=\lambda x$，那么 $\l x,T^*y\r_0=\l x,y\r_1=\l Tx,y\r_0=\l \lambda x,y\r_0=\l x,\overline{\lambda}y\r_0$ 对任意 $y\in V$ 成立，那么 $\range(T^*-\overline{\lambda}I)\subseteq\span\{x\}^T$，从而 $T^*-\overline{\lambda}I$ 不是单的，即 $\overline{\lambda}$ 是 $T^*$ 的本征值。

如果 $\mathbb F=\mathbb C$，将会得到一些更强的结论：下面引理 7.1.10 说明了此时 $\forall_x,\l x,x\r_1=0\iff\forall_{x,y},\l x,y\r_1=0$；引理 7.1.11 说明了此时双线性泛函具有共轭对称性就等价于 $\forall_{x},\l x,x\r_1\in\mathbb R$。

• 引理 7.1.10：设 $\mathbb F=\mathbb C$，$T\in\L(V)$，$\l Tv,v\r=0$ 对任意 $v\in V$ 成立，则 $T=0$。

  证明：此引理的证明依赖于，在 $\mathbb C$ 上，任意 $\l x,y\r_1$ 都能表示成若干 $\l v,v\r_1$ 的组合的形式。注意到：

  $$\begin{aligned} \l x+y,x+y\r_1-\l x-y,x-y\r_1&=2\l x,y\r_1+2\l y,x\r_1\\ \l x+iy,x+iy\r_1-\l x-iy,x-iy\r_1&=2\overline{i}\l x,y\r_1+2i\l y,x\r_1 \end{aligned}$$

  于是：

  $$\l x,y\r_1=\frac{1}{4}\bigg(\bigg(\l x+y,x+y\r_1-\l x-y,x-y\r_1\bigg)+i\bigg(\l x+iy,x+iy\r_1-\l x-iy,x-iy\r_1\bigg)\bigg)$$

  从而 $\l x,y\r_1=0$ 对任意 $x,y\in V$ 都成立，那么 $T=0$。

引理 7.1.10 在 $\mathbb F=\mathbb R$ 时有一个反例：$V=\mathbb R^2$，$T$ 是将向量逆时针旋转 $90^{\circ}$ 的变换。

• 引理 7.1.11：设 $\mathbb F=\mathbb C$，$T\in\L(V)$。那么 $T$ 是自伴的当且仅当 $\l Tv,v\r\in\mathbb R$ 对任意 $v\in V$ 成立。

  证明：一种方法是类似引理 7.1.10，将任意 $\l x,y\r_1$ 先拆解成 $\l v,v\r_1$ 的组合，再利用 $\l v,v\r_1\in\mathbb R$ 证明：

  $$\begin{aligned} \overline{\l x,y\r_1}&=\frac{1}{4}\bigg(\bigg(\overline{\l x+y,x+y\r_1}-\overline{\l x-y,x-y\r_1}\bigg)+\overline{i}\bigg(\overline{\l x+iy,x+iy\r_1}-\overline{\l x-iy,x-iy\r_1}\bigg)\bigg)\\ &=\frac{1}{4}\bigg(\bigg(\l x+y,x+y\r_1-\l x-y,x-y\r_1\bigg)+\overline{i}\bigg(\l x+iy,x+iy\r_1-\l x-iy,x-iy\r_1\bigg)\bigg)\\ &=\frac{1}{4}\bigg(\bigg(\l y+x,y+x\r_1-\l y-x,y-x\r_1\bigg)+i\bigg(\l x-iy,x-iy\r_1-\l x+iy,x+iy\r_1\bigg)\bigg)\\ &=\frac{1}{4}\bigg(\bigg(\l y+x,y+x\r_1-\l y-x,y-x\r_1\bigg)+i\bigg(\l y+ix,y+ix\r_1-\l y-ix,y-ix\r_1\bigg)\bigg)\\ &=\l y,x\r_1 \end{aligned}$$

  另一种方法是考察双线性泛函 $\l x,y\r_2=\l x,y\r_1-\overline{\l y,x\r_1}$。那么 $\l v,v\r_2=0$ 对任意 $v\in V$ 成立，从而根据引理 7.1.10 可知 $\l x,y\r_2=0$ 对任意 $x,y\in V$ 成立。

在 $\mathbb F=\mathbb R$ 时，引理 7.1.11 等价的两个条件中后者是恒成立的，从而易见引理 7.1.11 此时并不成立。

观察引理 7.1.10 的证明，发现在 $\mathbb F=\mathbb R$ 时，若该双线性泛函满足对称性，即 $T$ 是自伴的，也能使结论成立。

• 引理 7.1.12：设 $\mathbb F=\mathbb R$，$T\in\L(V)$ 是自伴算子，$\l Tv,v\r=0$ 对任意 $v\in V$ 成立，则 $T=0$。

  证明：此时 $\l x+y,x+y\r_1-\l x-y,x-y\r_1=2\l x,y\r_1+2\l y,x\r_1=4\l x,y\r_1$。

根据引理 7.1.4，立即可得自伴算子的零空间和值域空间互为正交补。

• 定义 7.1.13（正规算子）：设 $T\in\L(V)$。称 $T$ 是正规的，当且仅当 $TT^*=T^*T$。

由于自伴算子满足 $T=T^*$，所以自伴算子一定是正规的。那么，下述关于正规算子的论断也一定适用于自伴算子。

• 引理 7.1.14：设 $T\in\L(V)$。那么 $T$ 是正规的当且仅当 $\lv Tv\rv=\lv T^*v\rv$ 对任意 $v\in V$ 成立。

  证明：$\l Tv,Tv\r_0=\l T^*Tv,v\r_0$，$\l T^*v,T^*v\r_0=\l TT^*v,v\r_0$。而 $T^*T-TT^*$ 是自伴算子，根据引理 7.1.10 和 7.1.12，无论 $\mathbb F=\mathbb C$ 还是 $\mathbb F=\mathbb R$，都有 $T^*T=TT^*\iff\forall_{v},\l T^*Tv,v\r_0=\l TT^*v,v\r_0$。

引理 7.1.14 的一个推论是 $\null T=\null T^*$，从而 $\range T=(\null T^*)^\perp=(\null T)^{\perp}=\range T^*$。从而，正交算子的零空间和值域空间也互为正交补。

• 引理 7.1.15：设 $T\in\L(V)$ 是正规算子，$v\in V$ 是 $T$ 的本征值 $\lambda\in\mathbb F$ 对应的本征向量，那么 $v$ 也是 $T^*$ 的特征值 $\overline{\lambda}$ 的本征向量。

  证明：$\overline{\l T^*v,v\r_0}=\l v,v\r_1=\l Tv,v\r_0$，又 $\lv Tv\rv=\lv T^*v\rv$，而 $Tv$ 和 $v$ 共线，所以一定有 $T^*v=Tv$，否则 $\lv T^*v\rv>\lv Tv\rv$。

  具体来说，将 $T^*v$ 关于 $v$ 做正交分解 $T^*v=kv+w$，其中 $\l v,w\r=0$。那么 $\l \lambda v,v\r_0=\l Tv,v\r_0=\l v,T^*v\r_0=\l v,kv\r_0$，于是 $k=\overline{\lambda}$。从而 $T^*v=\overline{\lambda}v+w$，运用勾股定理，可以得到 $\lv T^*v\rv^2=\lv\overline{\lambda}v\rv^2+\lv w\rv^2$，得到 $w=0$。

  另一种证明方法是，$T,T^*$ 交换蕴含 $T-\lambda I,T^*-\overline\lambda I$ 交换，再利用引理 7.1.14 得证。

也就是说，对任意 $w$，都有 $\l v,w\r_1=\lambda \l v,w\r_0$ 和 $\l w,v\r_1=\lambda\l w,v\r_0$。

• 引理 7.1.16：设 $T\in\L(V)$ 是正规算子。则 $T$ 的不同本征值对应的本征向量是正交的。

  证明：设 $\lambda,\mu\in\mathbb F$ 是 $T$ 的不同的本征值，$v,w\in \mathbb F$ 是它们各自对应的本征向量。那么 $\l Tv,w\r_0=\l \lambda v,w\r_0=\lambda\l v,w\r_0$ 且 $\l v,T^*w\r_0=\l v,\overline{\mu}w\r_0=\mu\l v,w\r_0$，从而 $\l v,w\r_0=0$。

//实数与自伴算子的类比，复数与算子的类比

//正规算子的本质

7.2 谱定理

• 定理 7.2.1（复谱定理）：设 $\mathbb F=\mathbb C$，$T\in\L(V)$。那么 $T$ 是正规算子，当且仅当 $T$ 关于 $V$ 的某组标准正交基有对角矩阵。

  证明：=>：由定理 6.2.10，$T$ 关于 $V$ 的某组标准正交基 $e_1,\cdots,e_n$ 有上三角矩阵 $A$。那么 $\lv Te_1\rv=\lv A_{1,1}e_1+\cdots+A_{n,1}e_n\rv=|A_{1,1}|^2+\cdots+|A_{n,1}|^2=|A_{1,1}|^2$，$\lv T^*e_1\rv=\lv \overline{A_{1,1}}e_1+\cdots\overline{A_{1,n}}e_n\rv=|A_{1,1}|^2+\cdots+|A_{1,n}|^2$，于是 $A_{1,2}=\cdots=A_{1,n}=0$。重复此过程即可证明 $A$ 是对角矩阵。

  另一种证法：假设我们找到了 $T$ 的一个特征向量 $v$，那么根据引理 7.1.15 $\span\{v\}$ 同时是 $T$ 和 $T^*$ 下不变的子空间，然后再根据引理 7.2.4 递归构造即可。

  <=：$T^*$ 在这组基上的矩阵是 $T$ 在这组基上的矩阵的共轭转置，也是对角矩阵，而对角矩阵的乘积显然是可交换的。

• 引理 7.2.2：设 $T\in\L(V)$ 是自伴算子，$b,c\in\mathbb R$ 满足 $b^2-4c<0$，那么 $T^2+bT+cI$ 是可逆的。

  证明：反证，假设存在 $v\neq 0$ 使得 $(T^2+bT+cI)v=0$。由于 $b^2-4c<0$，所以可以分解为 $((T+dI)^2+e^2I)v=0$ 的形式，其中 $d,e\in\mathbb R\land e\neq 0$。而 $\l ((T+dI)^2+e^2I)v,v\r=\l (T+dI)^2v,v\r+\l e^2v,v\r=\l (T+dI)v,(T+dI)v\r+e^2\l v,v\r>0$（注意 $T+dI$ 也是自伴的），矛盾。

• 引理 7.2.3：设 $\mathbb F=\mathbb R$，$V\neq \{0\}$，$T\in\L(V)$ 是自伴算子，则 $T$ 有本征值。

  证明：类似引理 5.2.3，可以找到 $p\in\mathcal P(\mathbb R)\land p\neq 0$ 和 $v\in V\land v\neq 0$ 使得 $p(T)v=0$。此时可以将 $p$ 分解为 $p(x)=c(x^2+b_1x+c_1)\cdots(x^2+b_Mx+c_M)(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_m)$，其中 $c,b_i,c_i,\lambda_i$ 都是实数，$c$ 非零，且 $b_i^2-4c_i<0$ 对任意 $i$ 成立。根据引理 7.2.2 知 $(T^2+b_iT+c_iI)$ 是可逆的，而 $p(T)v=0$ 从而 $p(T)$ 不可逆，那么就一定存在某个 $(T-\lambda_iI)$ 不是可逆的，也即 $T$ 有本征值。

• 引理 7.2.4：设 $T\in\L(V)$，$U$ 是 $V$ 的在 $T$ 下不变的子空间。那么 $U^\perp$ 也在 $T^*$ 下不变。

  证明：$U$ 在 $T$ 下不变，说明所有的 $v\in U,w\in U^\perp$ 的双线性泛函 $\l v,w\r_1$ 都是 $0$，那么 $U^\perp$ 在 $T^*$ 下也应不变。

• 定理 7.2.5（实谱定理）：设 $\mathbb F=\mathbb R$，$T\in\L(V)$。那么 $T$ 是自伴算子，当且仅当 $T$ 关于 $V$ 的某组标准正交基有对角矩阵。

  证明：=>：利用引理 7.2.3 和引理 7.2.4 立即可得。

  另一种证法是，我们先证明 $T$ 的特征多项式是可以完全分解的：将 $T$ 的特征多项式在 $\C$ 上分解，那么这个多项式的所有根都应该是实的，因为这个多项式同时也是 $\C^n$ 上自伴算子 $x\mapsto \mathcal M(T)x$ 对应的特征多项式。那么 $T$ 关于 $V$ 的某组标准正交基有上三角矩阵，那么再类似定理 7.2.1 的证明方法（或者直接用 $T=T^*$ 和 $\mathcal M(T)$ 是上三角的推出 $\mathcal M(T)$ 是对角的）证明即可。

  <=：实对角矩阵显然是共轭对称的。

//实空间上的任意两个对称双线性泛函是否都有一组共同的正交基？

7.3 正算子与等距同构

• 定义 7.3.1（正算子）：设 $T\in\L(V)$。称 $T$ 是正的，当且仅当 $T$ 是自伴的且对任意 $v\in V$ 有 $\l Tv,v\r\geq 0$。

正算子对应于满足正性、共轭对称性的双线性泛函。

当 $\mathbb F=\mathbb C$ 时，$\l v,v\r_1\in\mathbb R$ 对任意 $v\in V$ 成立就已经说明双线性泛函满足共轭对称性（根据引理 7.1.11），从而此时只需验证正性即可。

• 定义 7.3.2（平方根）：设 $R,T\in\L(V)$。称 $R$ 是 $T$ 的平方根，当且仅当 $R^2=T$。

• 引理 7.3.3：设 $T\in\L(V)$，那么下述条件等价：

  1. $T$ 是正的。
  2. $T$ 是自伴的且 $T$ 的所有本征值非负。
  3. $T$ 有正的平方根。
  4. $T$ 有自伴的平方根。
  5. 存在算子 $R\in\L(V)$ 使得 $T=R^*R$。

  证明：1,2,3,4 等价都是简单地利用实谱定理即可。1->4 已经蕴含了 1->5。

  5->1：首先 $R^*R$ 是自伴的，且对于任意 $v\in V$，$\l R^*Rv,v\r=\l Rv,Rv\r\geq 0$。

• 定义 7.3.4（正算子的算术平方根）：设 $T\in\L(V)$ 是正算子，那么存在唯一的正算子 $R\in\L(V)$ 使得 $R^2=T$，将其定义为 $\sqrt T$。

  证明：可以将 $V$ 做关于 $R$ 的特征空间分解：$V=E(\lambda_1,R)\oplus\cdots\oplus E(\lambda_m,R)$，其中两两不同的 $\lambda_i$ 都是非负数。容易证明 $E(\lambda_i,R)\subseteq E(\lambda_i^2,R^2)$，而直和关系 $E(\lambda_1^2,R^2)\oplus\cdots\oplus E(\lambda_m^2,R^2)$ 本身就成立，所以易得 $E(\lambda_i,R)=E(\lambda_i^2,R^2)$ 且 $V=E(\lambda_1^2,R^2)\oplus\cdots\oplus E(\lambda_m^2,R^2)$。这是 $T=R^2$ 的本征空间分解，是唯一确定的，从而 $\lambda_1,\cdots,\lambda_m$ 应该恰为 $T$ 的所有本征值的算术平方根，而 $E(\lambda_i,R)=E(\lambda_i^2,R^2)$ 应该恰为 $T$ 的该本征值对应的本征空间，从而 $R$ 被唯一确定。

• 定义 7.3.5（等距同构）：设 $S\in\L(V)$。称 $S$ 是等距同构，当且仅当 $\lv Sv\rv=\lv v\rv$ 对任意 $v\in V$ 成立。

• 引理 7.3.6：设 $S\in\L(V)$，那么下述条件等价：

  1. $S$ 是等距同构。
  2. $\l Su,Sv\r=\l u,v\r$ 对任意 $u,v\in V$ 成立。
  3. 对于任意 $V$ 的标准正交基 $e_1,\cdots,e_n$ 有 $Se_1,\cdots,Se_n$ 也是标准正交的。
  4. 存在 $V$ 的标准正交基 $e_1,\cdots,e_n$ 满足 $Se_1,\cdots,Se_n$ 也是标准正交的。
  5. $SS^*=I$。
  6. $S^*S=I$。
  7. $S^*$ 是等距同构。
  8. $S$ 是可逆的且 $S^{-1}=S^*$。

  证明：1->2：$\l Su,Sv\r=\l S^*Su,v\r$，而 $S^*S$ 是自伴算子，从而 $\l u,v\r_1$ 可以用 $\l x,x\r_1$ 表示。

  2->3,3->4 显然，4->1：$\lv Sv\rv=\lv S(a_1e_1+\cdots+a_ne_n)\rv=\lv a_1Se_1+\cdots+a_nSe_n\rv=|a_1|^2+\cdots+|a_n|^2=\lv v\rv$。

  2<->5,6 显然。1<->7 根据 1<->5,6 可知（也可以通过 5,6 得知 $S$ 是正规算子来证明）。5,6<->8 显然。

• 引理 7.3.7：设 $\mathbb F=\mathbb C$，$S\in\L(V)$。那么 $S$ 是等距同构当且仅当 $S$ 关于 $V$ 的某组标准正交基有对角矩阵，且对角线上元素的绝对值均为 $1$（注意有可能是复数）。

  证明：=>：正规所以有对角阵。等距所以特征值绝对值只能是 $1$。

  <=：显然这组基作用 $S$ 后仍然保持标准正交性。

• 引理 7.3.8：设 $S\in\L(V)$ 是等距同构。$M$ 是 $S$ 关于 $V$ 的某组标准正交基的矩阵。那么对于任意 $1\leq i\leq n$，$\sum_{j=1}^n |M_{i,j}|^2=\sum_{j=1}^n|M_{j,i}|^2=1$。

  证明：$1=\lv Se_i\rv=\lv M_{1,i}e_1+\cdots+M_{n,i}e_n\rv=|M_{1,i}|^2+\cdots+|M_{n,i}|^2$。

7.4 极分解与奇异值分解

• 定理 7.4.1（极分解）：设 $T\in\L(V)$。那么存在等距同构 $S\in\L(V)$ 使得 $T=S\sqrt{T^*T}$。

  证明：记 $R=\sqrt{T^*T}$。那么 $\l Tu,Tv\r=\l Ru,Rv\r$ 且 $R$ 是正算子。现在要找到一个等距同构 $S$ 使得 $T=SR$。

  那么显然对 $\range R$ 中的元素要求 $S(Rv)=Tv$。该定义是良的：$Rv_1=Rv_2\implies \l T(v_1-v_2),T(v_1-v_2)\r=\l R(v_1-v_2),R(v_1-v_2)\r=0\implies Tv_1=Tv_2$。且容易看出 $S$ 在 $\range R$ 上根据我们的定义是线性映射。$S$ 在 $\range R$ 上也是等距的：$\l SRu,SRv\r=\l Tu,Tv\r=\l Ru,Rv\r$。

  接下来我们只需将 $S$ 扩充即可，任选 $(\range R)^\perp$ 的一组正交基 $e_1,\cdots,e_m$ 和 $(\range T)^\perp$ 的一组正交基 $f_1,\cdots,f_m$，然后将 $Se_i$ 映到 $f_i$ 即可。再利用引理 7.3.6.4，即可证明 $S$ 是等距同构。

• 定义 7.4.2（奇异值）：设 $T\in\L(V)$，定义 $T$ 的奇异值就是 $\sqrt{T^*T}$ 的本征值（计重数）。

//$T$ 的奇异值是否一定包含 $T$ 的非负的本征值？

• 定理 7.4.3（奇异值分解）：设 $T\in\L(V)$ 有奇异值 $s_1,\cdots,s_n$。则存在 $V$ 的两组标准正交基 $e_1,\cdots,e_n$ 和 $f_1,\cdots,f_n$，使得 $Tv=s_1\l v,e_1\r f_1+\cdots+s_n\l v,e_n\r f_n$ 对任意 $v\in V$ 成立。

  证明：记 $R=\sqrt{T^*T}$。那么存在一组 $V$ 的标准正交基 $e_1,\cdots,e_n$，使得 $Re_i=s_ie_i$ 对任意 $i$ 成立。根据极分解，存在等距同构 $T=SR$，令 $f_i=Se_i$ 即可。

奇异值分解的矩阵形式是：$\M(T,(e_1,\cdots,e_n),(f_1,\cdots,f_n))=\begin{pmatrix}s_1&&0\\&\ddots&\\0&&s_n\end{pmatrix}$。

那么可知 $T^*$ 的矩阵形式是：$\M(T^*,(f_1,\cdots,f_n),(e_1,\cdots,e_n))=\begin{pmatrix}s_1&&0\\&\ddots&\\0&&s_n\end{pmatrix}$

//习题与总结