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第七章 内积空间上的算子

本章中将延续上一章的记号和假设,并且再假设 V,W 都是有限维的内积空间。

7.1 自伴算子与正规算子

  • 定义 7.1.1(伴随):设 TL(V,W),定义 T 的伴随为函数 T:WV,满足对任意的 vV,wWTv,w=v,Tw

为了理解好伴随算子的含义,我们要从更高更统一的角度思考(就好像为了理解好矩阵相似的含义,应该把它们理解为同一个线性变换在不同基底上的表示)。这里我们引入双线性泛函:v,w 是一个 V×WF 的函数,满足对于两个位置都是线性的,且关于第二个位置是共轭线性(即 v,λw=λ¯v,w)。那么选定 V,W 的一组单位正交基 v1,,vnw1,,wm,确定所有的 vi,wj 即可确定该双线性泛函。

同时,可以据此得到一个线性变换 TL(V,W),使得 v,w=Tv,w 对任意 v,w 成立。那么 Tvi,wj=vi,wj,从而 (vi,w1,,vi,wm) 就是 TviW 中的坐标。

同理,也可以得到一个线性变换 TL(W,V),使得 v,w=v,Tw 对任意 v,w 成立。那么 Twi,vj=vj,wi¯,从而 (v1,wi¯,,vn,wi¯) 就是 TwiV 中的坐标。

由上述分析也可以看出,TTVW 的标准正交基上的矩阵满足共轭转置的关系。

  • 引理 7.1.2T 是线性映射。

  • 引理 7.1.3:在适应的定义下:

    1. (S+T)=S+T

    2. (λS)=λ¯S

    3. (T)=T

    4. I=I,这里 IL(V)

    5. (ST)=TS

      证明:设 TL(V,U),SL(U,W),它们分别确定了 V×U 上的双线性泛函 ,V×UU×W 上的双线性泛函 ,U×W。现定义 V×W 上的双线性泛函,满足 v,wV×W=Tv,wU×W。一方面,v,wV×W=Tv,wU×W=STv,wW×W;一方面,v,wV×W=Tv,wU×W=Tv,SwU×U=v,SwV×U=v,TSwV×V

  • 引理 7.1.4:设 TL(V,W)。则 nullT=(rangeT)

    证明:条件都是 v,w=0 对任意 v 成立。

    rangeT 里的 w 要和任何 v 正交,从而 T(w)=0

  • 定义 7.1.5(共轭转置):略。

  • 定理 7.1.6:设 TL(V,W)v1,,vnV 的标准正交基,w1,,wmW 的标准正交基。那么 M(T,(v1,,vn),(w1,,wm))M(T,(w1,,wm),(v1,,vn)) 互为共轭转置。

  • 定义 7.1.7(自伴算子):设 TL(V)。称 T 是自伴的,当且仅当 T=T

下面为了区分,用 ,0 表示 V 上本来就定义的内积,,1 表示 V 上以 T 定义的双线性泛函。

v1,,vnV 的一组基,根据上面的分析,为使得 TviTvi 相等,等价于 vi,vj1=vj,vi1¯ 对任意 j 成立。从而这等价于,这个 V 上的双线性泛函具有共轭对称性。

或者从另一个角度,x,y1=x,Ty0y,x1¯=Ty,x0¯=x,Ty0,那么 T=Tx,y,x,y1=y,x1¯(后推前只需取 x 是一组单位正交基的每个基向量,yV 中任意元素即可)。

共轭对称性的一个直接推论就是 x,x1 一定是实的。

  • 引理 7.1.8:自伴算子关于加法和实数数乘封闭。

  • 定理 7.1.9:自伴算子的每个本征值都是实的。

    证明:设 λFT 的本征值,x0 是其对应的一个本征向量,x,x1=Tx,x0=λx,x0,从而 λ=x,x1x,x0R

    (因为 x,x1 是实的,而 x,x1=λx,x0

事实上,当 TL(V) 时(不必自伴),T 的本征值和 T 的本征值形成互共轭的关系:假设 Tx=λx,那么 x,Ty0=x,y1=Tx,y0=λx,y0=x,λ¯y0 对任意 yV 成立,那么 range(Tλ¯I)span{x}T,从而 Tλ¯I 不是单的,即 λ¯T 的本征值。

如果 F=C,将会得到一些更强的结论:下面引理 7.1.10 说明了此时 x,x,x1=0x,y,x,y1=0;引理 7.1.11 说明了此时双线性泛函具有共轭对称性就等价于 x,x,x1R

  • 引理 7.1.10:设 F=CTL(V)Tv,v=0 对任意 vV 成立,则 T=0

    证明:此引理的证明依赖于,在 C 上,任意 x,y1 都能表示成若干 v,v1 的组合的形式。注意到:

    x+y,x+y1xy,xy1=2x,y1+2y,x1x+iy,x+iy1xiy,xiy1=2i¯x,y1+2iy,x1

    于是:

    x,y1=14((x+y,x+y1xy,xy1)+i(x+iy,x+iy1xiy,xiy1))

    从而 x,y1=0 对任意 x,yV 都成立,那么 T=0

引理 7.1.10 在 F=R 时有一个反例:V=R2T 是将向量逆时针旋转 90 的变换。

  • 引理 7.1.11:设 F=CTL(V)。那么 T 是自伴的当且仅当 Tv,vR 对任意 vV 成立。

    证明:一种方法是类似引理 7.1.10,将任意 x,y1 先拆解成 v,v1 的组合,再利用 v,v1R 证明:

    x,y1¯=14((x+y,x+y1¯xy,xy1¯)+i¯(x+iy,x+iy1¯xiy,xiy1¯))=14((x+y,x+y1xy,xy1)+i¯(x+iy,x+iy1xiy,xiy1))=14((y+x,y+x1yx,yx1)+i(xiy,xiy1x+iy,x+iy1))=14((y+x,y+x1yx,yx1)+i(y+ix,y+ix1yix,yix1))=y,x1

    另一种方法是考察双线性泛函 x,y2=x,y1y,x1¯。那么 v,v2=0 对任意 vV 成立,从而根据引理 7.1.10 可知 x,y2=0 对任意 x,yV 成立。

F=R 时,引理 7.1.11 等价的两个条件中后者是恒成立的,从而易见引理 7.1.11 此时并不成立。

观察引理 7.1.10 的证明,发现在 F=R 时,若该双线性泛函满足对称性,即 T 是自伴的,也能使结论成立。

  • 引理 7.1.12:设 F=RTL(V) 是自伴算子,Tv,v=0 对任意 vV 成立,则 T=0

    证明:此时 x+y,x+y1xy,xy1=2x,y1+2y,x1=4x,y1

根据引理 7.1.4,立即可得自伴算子的零空间和值域空间互为正交补。

  • 定义 7.1.13(正规算子):设 TL(V)。称 T 是正规的,当且仅当 TT=TT

由于自伴算子满足 T=T,所以自伴算子一定是正规的。那么,下述关于正规算子的论断也一定适用于自伴算子。

  • 引理 7.1.14:设 TL(V)。那么 T 是正规的当且仅当 Tv=Tv 对任意 vV 成立。

    证明Tv,Tv0=TTv,v0Tv,Tv0=TTv,v0。而 TTTT 是自伴算子,根据引理 7.1.10 和 7.1.12,无论 F=C 还是 F=R,都有 TT=TTv,TTv,v0=TTv,v0

引理 7.1.14 的一个推论是 nullT=nullT,从而 rangeT=(nullT)=(nullT)=rangeT。从而,正交算子的零空间和值域空间也互为正交补。

  • 引理 7.1.15:设 TL(V) 是正规算子,vVT 的本征值 λF 对应的本征向量,那么 v 也是 T 的特征值 λ¯ 的本征向量。

    证明Tv,v0¯=v,v1=Tv,v0,又 Tv=Tv,而 Tvv 共线,所以一定有 Tv=Tv,否则 Tv>Tv

    具体来说,将 Tv 关于 v 做正交分解 Tv=kv+w,其中 v,w=0。那么 λv,v0=Tv,v0=v,Tv0=v,kv0,于是 k=λ¯。从而 Tv=λ¯v+w,运用勾股定理,可以得到 Tv2=λ¯v2+w2,得到 w=0

    另一种证明方法是,T,T 交换蕴含 TλI,Tλ¯I 交换,再利用引理 7.1.14 得证。

也就是说,对任意 w,都有 v,w1=λv,w0w,v1=λw,v0

  • 引理 7.1.16:设 TL(V) 是正规算子。则 T 的不同本征值对应的本征向量是正交的。

    证明:设 λ,μFT 的不同的本征值,v,wF 是它们各自对应的本征向量。那么 Tv,w0=λv,w0=λv,w0v,Tw0=v,μ¯w0=μv,w0,从而 v,w0=0

//实数与自伴算子的类比,复数与算子的类比

//正规算子的本质

7.2 谱定理

  • 定理 7.2.1(复谱定理):设 F=CTL(V)。那么 T 是正规算子,当且仅当 T 关于 V 的某组标准正交基有对角矩阵。

    证明:=>:由定理 6.2.10,T 关于 V 的某组标准正交基 e1,,en 有上三角矩阵 A。那么 Te1=A1,1e1++An,1en=|A1,1|2++|An,1|2=|A1,1|2Te1=A1,1¯e1+A1,n¯en=|A1,1|2++|A1,n|2,于是 A1,2==A1,n=0。重复此过程即可证明 A 是对角矩阵。

    另一种证法:假设我们找到了 T 的一个特征向量 v,那么根据引理 7.1.15 span{v} 同时是 TT 下不变的子空间,然后再根据引理 7.2.4 递归构造即可。

    <=:T 在这组基上的矩阵是 T 在这组基上的矩阵的共轭转置,也是对角矩阵,而对角矩阵的乘积显然是可交换的。

  • 引理 7.2.2:设 TL(V) 是自伴算子,b,cR 满足 b24c<0,那么 T2+bT+cI 是可逆的。

    证明:反证,假设存在 v0 使得 (T2+bT+cI)v=0。由于 b24c<0,所以可以分解为 ((T+dI)2+e2I)v=0 的形式,其中 d,eRe0。而 ((T+dI)2+e2I)v,v=(T+dI)2v,v+e2v,v=(T+dI)v,(T+dI)v+e2v,v>0(注意 T+dI 也是自伴的),矛盾。

  • 引理 7.2.3:设 F=RV{0}TL(V) 是自伴算子,则 T 有本征值。

    证明:类似引理 5.2.3,可以找到 pP(R)p0vVv0 使得 p(T)v=0。此时可以将 p 分解为 p(x)=c(x2+b1x+c1)(x2+bMx+cM)(xλ1)(xλm),其中 c,bi,ci,λi 都是实数,c 非零,且 bi24ci<0 对任意 i 成立。根据引理 7.2.2 知 (T2+biT+ciI) 是可逆的,而 p(T)v=0 从而 p(T) 不可逆,那么就一定存在某个 (TλiI) 不是可逆的,也即 T 有本征值。

  • 引理 7.2.4:设 TL(V)UV 的在 T 下不变的子空间。那么 U 也在 T 下不变。

    证明UT 下不变,说明所有的 vU,wU 的双线性泛函 v,w1 都是 0,那么 UT 下也应不变。

  • 定理 7.2.5(实谱定理):设 F=RTL(V)。那么 T 是自伴算子,当且仅当 T 关于 V 的某组标准正交基有对角矩阵。

    证明:=>:利用引理 7.2.3 和引理 7.2.4 立即可得。

    另一种证法是,我们先证明 T 的特征多项式是可以完全分解的:将 T 的特征多项式在 C 上分解,那么这个多项式的所有根都应该是实的,因为这个多项式同时也是 Cn 上自伴算子 xM(T)x 对应的特征多项式。那么 T 关于 V 的某组标准正交基有上三角矩阵,那么再类似定理 7.2.1 的证明方法(或者直接用 T=TM(T) 是上三角的推出 M(T) 是对角的)证明即可。

    <=:实对角矩阵显然是共轭对称的。

//实空间上的任意两个对称双线性泛函是否都有一组共同的正交基?

7.3 正算子与等距同构

  • 定义 7.3.1(正算子):设 TL(V)。称 T 是正的,当且仅当 T 是自伴的且对任意 vVTv,v0

正算子对应于满足正性、共轭对称性的双线性泛函。

F=C 时,v,v1R 对任意 vV 成立就已经说明双线性泛函满足共轭对称性(根据引理 7.1.11),从而此时只需验证正性即可。

  • 定义 7.3.2(平方根):设 R,TL(V)。称 RT 的平方根,当且仅当 R2=T

  • 引理 7.3.3:设 TL(V),那么下述条件等价:

    1. T 是正的。
    2. T 是自伴的且 T 的所有本征值非负。
    3. T 有正的平方根。
    4. T 有自伴的平方根。
    5. 存在算子 RL(V) 使得 T=RR

    证明:1,2,3,4 等价都是简单地利用实谱定理即可。1->4 已经蕴含了 1->5。

    5->1:首先 RR 是自伴的,且对于任意 vVRRv,v=Rv,Rv0

  • 定义 7.3.4(正算子的算术平方根):设 TL(V) 是正算子,那么存在唯一的正算子 RL(V) 使得 R2=T,将其定义为 T

    证明:可以将 V 做关于 R 的特征空间分解:V=E(λ1,R)E(λm,R),其中两两不同的 λi 都是非负数。容易证明 E(λi,R)E(λi2,R2),而直和关系 E(λ12,R2)E(λm2,R2) 本身就成立,所以易得 E(λi,R)=E(λi2,R2)V=E(λ12,R2)E(λm2,R2)。这是 T=R2 的本征空间分解,是唯一确定的,从而 λ1,,λm 应该恰为 T 的所有本征值的算术平方根,而 E(λi,R)=E(λi2,R2) 应该恰为 T 的该本征值对应的本征空间,从而 R 被唯一确定。

  • 定义 7.3.5(等距同构):设 SL(V)。称 S 是等距同构,当且仅当 Sv=v 对任意 vV 成立。

  • 引理 7.3.6:设 SL(V),那么下述条件等价:

    1. S 是等距同构。
    2. Su,Sv=u,v 对任意 u,vV 成立。
    3. 对于任意 V 的标准正交基 e1,,enSe1,,Sen 也是标准正交的。
    4. 存在 V 的标准正交基 e1,,en 满足 Se1,,Sen 也是标准正交的。
    5. SS=I
    6. SS=I
    7. S 是等距同构。
    8. S 是可逆的且 S1=S

    证明:1->2:Su,Sv=SSu,v,而 SS 是自伴算子,从而 u,v1 可以用 x,x1 表示。

    2->3,3->4 显然,4->1:Sv=S(a1e1++anen)=a1Se1++anSen=|a1|2++|an|2=v

    2<->5,6 显然。1<->7 根据 1<->5,6 可知(也可以通过 5,6 得知 S 是正规算子来证明)。5,6<->8 显然。

  • 引理 7.3.7:设 F=CSL(V)。那么 S 是等距同构当且仅当 S 关于 V 的某组标准正交基有对角矩阵,且对角线上元素的绝对值均为 1(注意有可能是复数)。

    证明:=>:正规所以有对角阵。等距所以特征值绝对值只能是 1

    <=:显然这组基作用 S 后仍然保持标准正交性。

  • 引理 7.3.8:设 SL(V) 是等距同构。MS 关于 V 的某组标准正交基的矩阵。那么对于任意 1inj=1n|Mi,j|2=j=1n|Mj,i|2=1

    证明1=Sei=M1,ie1++Mn,ien=|M1,i|2++|Mn,i|2

7.4 极分解与奇异值分解

  • 定理 7.4.1(极分解):设 TL(V)。那么存在等距同构 SL(V) 使得 T=STT

    证明:记 R=TT。那么 Tu,Tv=Ru,RvR 是正算子。现在要找到一个等距同构 S 使得 T=SR

    那么显然对 rangeR 中的元素要求 S(Rv)=Tv。该定义是良的:Rv1=Rv2T(v1v2),T(v1v2)=R(v1v2),R(v1v2)=0Tv1=Tv2。且容易看出 SrangeR 上根据我们的定义是线性映射。SrangeR 上也是等距的:SRu,SRv=Tu,Tv=Ru,Rv

    接下来我们只需将 S 扩充即可,任选 (rangeR) 的一组正交基 e1,,em(rangeT) 的一组正交基 f1,,fm,然后将 Sei 映到 fi 即可。再利用引理 7.3.6.4,即可证明 S 是等距同构。

  • 定义 7.4.2(奇异值):设 TL(V),定义 T 的奇异值就是 TT 的本征值(计重数)。

//T 的奇异值是否一定包含 T 的非负的本征值?

  • 定理 7.4.3(奇异值分解):设 TL(V) 有奇异值 s1,,sn。则存在 V 的两组标准正交基 e1,,enf1,,fn,使得 Tv=s1v,e1f1++snv,enfn 对任意 vV 成立。

    证明:记 R=TT。那么存在一组 V 的标准正交基 e1,,en,使得 Rei=siei 对任意 i 成立。根据极分解,存在等距同构 T=SR,令 fi=Sei 即可。

奇异值分解的矩阵形式是:M(T,(e1,,en),(f1,,fn))=(s100sn)

那么可知 T 的矩阵形式是:M(T,(f1,,fn),(e1,,en))=(s100sn)

//习题与总结

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