第七章 内积空间上的算子

\(\newcommand{\L}{\mathcal L}\newcommand{\M}{\mathcal M}\newcommand{\l}{\langle}\newcommand{\r}{\rangle}\newcommand{\lv}{\lVert}\newcommand{\rv}{\rVert}\newcommand{\span}{\operatorname{span}}\newcommand{\null}{\operatorname{null}}\newcommand{\range}{\operatorname{range}}\)

本章中将延续上一章的记号和假设，并且再假设 \(V,W\) 都是有限维的内积空间。

7.1 自伴算子与正规算子

• 定义 7.1.1（伴随）：设 \(T\in\L(V,W)\)，定义 \(T\) 的伴随为函数 \(T^*:W\to V\)，满足对任意的 \(v\in V,w\in W\) 有 \(\l Tv,w\r=\l v,T^*w\r\)。

为了理解好伴随算子的含义，我们要从更高更统一的角度思考（就好像为了理解好矩阵相似的含义，应该把它们理解为同一个线性变换在不同基底上的表示）。这里我们引入双线性泛函：\(\l v,w\r\) 是一个 \(V\times W\to\mathbb F\) 的函数，满足对于两个位置都是线性的，且关于第二个位置是共轭线性（即 \(\l v,\lambda w\r=\overline{\lambda}\l v,w\r\)）。那么选定 \(V,W\) 的一组单位正交基 \(v_1,\cdots,v_n\) 和 \(w_1,\cdots,w_m\)，确定所有的 \(\l v_i,w_j\r\) 即可确定该双线性泛函。

同时，可以据此得到一个线性变换 \(T\in\L(V,W)\)，使得 \(\l v,w\r=\l Tv,w\r\) 对任意 \(v,w\) 成立。那么 \(\l Tv_i,w_j\r=\l v_i,w_j\r\)，从而 \(\bigg(\l v_i,w_1\r,\cdots,\l v_i,w_m\r\bigg)\) 就是 \(Tv_i\) 在 \(W\) 中的坐标。

同理，也可以得到一个线性变换 \(T^*\in\L(W,V)\)，使得 \(\l v,w\r=\l v,T^*w\r\) 对任意 \(v,w\) 成立。那么 \(\l T^*w_i,v_j\r=\overline{\l v_j,w_i\r}\)，从而 \(\bigg(\overline{\l v_1,w_i\r},\cdots,\overline{\l v_n,w_i\r}\bigg)\) 就是 \(T^*w_i\) 在 \(V\) 中的坐标。

由上述分析也可以看出，\(T\) 和 \(T^*\) 在 \(V\) 和 \(W\) 的标准正交基上的矩阵满足共轭转置的关系。

• 引理 7.1.2：\(T^*\) 是线性映射。

• 引理 7.1.3：在适应的定义下：

  1. \((S+T)^*=S^*+T^*\)。

  2. \((\lambda S)^*=\overline{\lambda}S^*\)。

  3. \((T^*)^*=T\)。

  4. \(I^*=I\)，这里 \(I\in\L(V)\)。

  5. \((ST)^*=T^*S^*\)。

     证明：设 \(T\in\L(V,U),S\in\L(U,W)\)，它们分别确定了 \(V\times U\) 上的双线性泛函 \(\l\cdot,\cdot\r_{V\times U}\) 和 \(U\times W\) 上的双线性泛函 \(\l \cdot,\cdot\r_{U\times W}\)。现定义 \(V\times W\) 上的双线性泛函，满足 \(\l v,w\r_{V\times W}=\l Tv,w\r_{U\times W}\)。一方面，\(\l v,w\r_{V\times W}=\l Tv,w\r_{U\times W}=\l STv,w\r_{W\times W}\)；一方面，\(\l v,w\r_{V\times W}=\l Tv,w\r_{U\times W}=\l Tv,S^*w\r_{U\times U}=\l v,S^*w\r_{V\times U}=\l v,T^*S^*w\r_{V\times V}\)。

• 引理 7.1.4：设 \(T\in\L(V,W)\)。则 \(\null T^*=(\range T)^{\perp}\)。

  证明：条件都是 \(\l v,w\r=0\) 对任意 \(v\) 成立。

  （\(\range T^{\perp}\) 里的 \(w\) 要和任何 \(v\) 正交，从而 \(T^*(w)=0\)）

• 定义 7.1.5（共轭转置）：略。

• 定理 7.1.6：设 \(T\in \L(V,W)\)，\(v_1,\cdots,v_n\) 是 \(V\) 的标准正交基，\(w_1,\cdots,w_m\) 是 \(W\) 的标准正交基。那么 \(\M(T,(v_1,\cdots,v_n),(w_1,\cdots,w_m))\) 与 \(\M(T^*,(w_1,\cdots,w_m),(v_1,\cdots,v_n))\) 互为共轭转置。

• 定义 7.1.7（自伴算子）：设 \(T\in\L(V)\)。称 \(T\) 是自伴的，当且仅当 \(T=T^*\)。

下面为了区分，用 \(\l\cdot,\cdot\r_0\) 表示 \(V\) 上本来就定义的内积，\(\l \cdot,\cdot\r_1\) 表示 \(V\) 上以 \(T\) 定义的双线性泛函。

设 \(v_1,\cdots,v_n\) 是 \(V\) 的一组基，根据上面的分析，为使得 \(Tv_i\) 和 \(T^*v_i\) 相等，等价于 \(\l v_i,v_j\r_1=\overline{\l v_j,v_i\r_1}\) 对任意 \(j\) 成立。从而这等价于，这个 \(V\) 上的双线性泛函具有共轭对称性。

或者从另一个角度，\(\l x,y\r_{1}=\l x,T^*y\r_0\)，\(\overline{\l y,x\r_1}=\overline{\l Ty,x\r_0}=\l x,Ty\r_0\)，那么 \(T=T^*\iff \forall_{x,y},\l x,y\r_1=\overline{\l y,x\r_1}\)（后推前只需取 \(x\) 是一组单位正交基的每个基向量，\(y\) 是 \(V\) 中任意元素即可）。

共轭对称性的一个直接推论就是 \(\l x,x\r_1\) 一定是实的。

• 引理 7.1.8：自伴算子关于加法和实数数乘封闭。

• 定理 7.1.9：自伴算子的每个本征值都是实的。

  证明：设 \(\lambda\in\mathbb F\) 是 \(T\) 的本征值，\(x\neq 0\) 是其对应的一个本征向量，\(\l x,x\r_1=\l Tx,x\r_0=\lambda\l x,x\r_0\)，从而 \(\lambda=\frac{\l x,x\r_1}{\l x,x\r_0}\in\mathbb R\)。

  （因为 \(\l x,x\r_1\) 是实的，而 \(\l x,x\r_1=\lambda \l x,x\r_0\)）

事实上，当 \(T\in\L(V)\) 时（不必自伴），\(T\) 的本征值和 \(T^*\) 的本征值形成互共轭的关系：假设 \(Tx=\lambda x\)，那么 \(\l x,T^*y\r_0=\l x,y\r_1=\l Tx,y\r_0=\l \lambda x,y\r_0=\l x,\overline{\lambda}y\r_0\) 对任意 \(y\in V\) 成立，那么 \(\range(T^*-\overline{\lambda}I)\subseteq\span\{x\}^T\)，从而 \(T^*-\overline{\lambda}I\) 不是单的，即 \(\overline{\lambda}\) 是 \(T^*\) 的本征值。

如果 \(\mathbb F=\mathbb C\)，将会得到一些更强的结论：下面引理 7.1.10 说明了此时 \(\forall_x,\l x,x\r_1=0\iff\forall_{x,y},\l x,y\r_1=0\)；引理 7.1.11 说明了此时双线性泛函具有共轭对称性就等价于 \(\forall_{x},\l x,x\r_1\in\mathbb R\)。

• 引理 7.1.10：设 \(\mathbb F=\mathbb C\)，\(T\in\L(V)\)，\(\l Tv,v\r=0\) 对任意 \(v\in V\) 成立，则 \(T=0\)。

  证明：此引理的证明依赖于，在 \(\mathbb C\) 上，任意 \(\l x,y\r_1\) 都能表示成若干 \(\l v,v\r_1\) 的组合的形式。注意到：

  \[\begin{aligned} \l x+y,x+y\r_1-\l x-y,x-y\r_1&=2\l x,y\r_1+2\l y,x\r_1\\ \l x+iy,x+iy\r_1-\l x-iy,x-iy\r_1&=2\overline{i}\l x,y\r_1+2i\l y,x\r_1 \end{aligned} \]

  于是：

  \[\l x,y\r_1=\frac{1}{4}\bigg(\bigg(\l x+y,x+y\r_1-\l x-y,x-y\r_1\bigg)+i\bigg(\l x+iy,x+iy\r_1-\l x-iy,x-iy\r_1\bigg)\bigg) \]

  从而 \(\l x,y\r_1=0\) 对任意 \(x,y\in V\) 都成立，那么 \(T=0\)。

引理 7.1.10 在 \(\mathbb F=\mathbb R\) 时有一个反例：\(V=\mathbb R^2\)，\(T\) 是将向量逆时针旋转 \(90^{\circ}\) 的变换。

• 引理 7.1.11：设 \(\mathbb F=\mathbb C\)，\(T\in\L(V)\)。那么 \(T\) 是自伴的当且仅当 \(\l Tv,v\r\in\mathbb R\) 对任意 \(v\in V\) 成立。

  证明：一种方法是类似引理 7.1.10，将任意 \(\l x,y\r_1\) 先拆解成 \(\l v,v\r_1\) 的组合，再利用 \(\l v,v\r_1\in\mathbb R\) 证明：

  \[\begin{aligned} \overline{\l x,y\r_1}&=\frac{1}{4}\bigg(\bigg(\overline{\l x+y,x+y\r_1}-\overline{\l x-y,x-y\r_1}\bigg)+\overline{i}\bigg(\overline{\l x+iy,x+iy\r_1}-\overline{\l x-iy,x-iy\r_1}\bigg)\bigg)\\ &=\frac{1}{4}\bigg(\bigg(\l x+y,x+y\r_1-\l x-y,x-y\r_1\bigg)+\overline{i}\bigg(\l x+iy,x+iy\r_1-\l x-iy,x-iy\r_1\bigg)\bigg)\\ &=\frac{1}{4}\bigg(\bigg(\l y+x,y+x\r_1-\l y-x,y-x\r_1\bigg)+i\bigg(\l x-iy,x-iy\r_1-\l x+iy,x+iy\r_1\bigg)\bigg)\\ &=\frac{1}{4}\bigg(\bigg(\l y+x,y+x\r_1-\l y-x,y-x\r_1\bigg)+i\bigg(\l y+ix,y+ix\r_1-\l y-ix,y-ix\r_1\bigg)\bigg)\\ &=\l y,x\r_1 \end{aligned} \]

  另一种方法是考察双线性泛函 \(\l x,y\r_2=\l x,y\r_1-\overline{\l y,x\r_1}\)。那么 \(\l v,v\r_2=0\) 对任意 \(v\in V\) 成立，从而根据引理 7.1.10 可知 \(\l x,y\r_2=0\) 对任意 \(x,y\in V\) 成立。

在 \(\mathbb F=\mathbb R\) 时，引理 7.1.11 等价的两个条件中后者是恒成立的，从而易见引理 7.1.11 此时并不成立。

观察引理 7.1.10 的证明，发现在 \(\mathbb F=\mathbb R\) 时，若该双线性泛函满足对称性，即 \(T\) 是自伴的，也能使结论成立。

• 引理 7.1.12：设 \(\mathbb F=\mathbb R\)，\(T\in\L(V)\) 是自伴算子，\(\l Tv,v\r=0\) 对任意 \(v\in V\) 成立，则 \(T=0\)。

  证明：此时 \(\l x+y,x+y\r_1-\l x-y,x-y\r_1=2\l x,y\r_1+2\l y,x\r_1=4\l x,y\r_1\)。

根据引理 7.1.4，立即可得自伴算子的零空间和值域空间互为正交补。

• 定义 7.1.13（正规算子）：设 \(T\in\L(V)\)。称 \(T\) 是正规的，当且仅当 \(TT^*=T^*T\)。

由于自伴算子满足 \(T=T^*\)，所以自伴算子一定是正规的。那么，下述关于正规算子的论断也一定适用于自伴算子。

• 引理 7.1.14：设 \(T\in\L(V)\)。那么 \(T\) 是正规的当且仅当 \(\lv Tv\rv=\lv T^*v\rv\) 对任意 \(v\in V\) 成立。

  证明：\(\l Tv,Tv\r_0=\l T^*Tv,v\r_0\)，\(\l T^*v,T^*v\r_0=\l TT^*v,v\r_0\)。而 \(T^*T-TT^*\) 是自伴算子，根据引理 7.1.10 和 7.1.12，无论 \(\mathbb F=\mathbb C\) 还是 \(\mathbb F=\mathbb R\)，都有 \(T^*T=TT^*\iff\forall_{v},\l T^*Tv,v\r_0=\l TT^*v,v\r_0\)。

引理 7.1.14 的一个推论是 \(\null T=\null T^*\)，从而 \(\range T=(\null T^*)^\perp=(\null T)^{\perp}=\range T^*\)。从而，正交算子的零空间和值域空间也互为正交补。

• 引理 7.1.15：设 \(T\in\L(V)\) 是正规算子，\(v\in V\) 是 \(T\) 的本征值 \(\lambda\in\mathbb F\) 对应的本征向量，那么 \(v\) 也是 \(T^*\) 的特征值 \(\overline{\lambda}\) 的本征向量。

  证明：\(\overline{\l T^*v,v\r_0}=\l v,v\r_1=\l Tv,v\r_0\)，又 \(\lv Tv\rv=\lv T^*v\rv\)，而 \(Tv\) 和 \(v\) 共线，所以一定有 \(T^*v=Tv\)，否则 \(\lv T^*v\rv>\lv Tv\rv\)。

  具体来说，将 \(T^*v\) 关于 \(v\) 做正交分解 \(T^*v=kv+w\)，其中 \(\l v,w\r=0\)。那么 \(\l \lambda v,v\r_0=\l Tv,v\r_0=\l v,T^*v\r_0=\l v,kv\r_0\)，于是 \(k=\overline{\lambda}\)。从而 \(T^*v=\overline{\lambda}v+w\)，运用勾股定理，可以得到 \(\lv T^*v\rv^2=\lv\overline{\lambda}v\rv^2+\lv w\rv^2\)，得到 \(w=0\)。

  另一种证明方法是，\(T,T^*\) 交换蕴含 \(T-\lambda I,T^*-\overline\lambda I\) 交换，再利用引理 7.1.14 得证。

也就是说，对任意 \(w\)，都有 \(\l v,w\r_1=\lambda \l v,w\r_0\) 和 \(\l w,v\r_1=\lambda\l w,v\r_0\)。

• 引理 7.1.16：设 \(T\in\L(V)\) 是正规算子。则 \(T\) 的不同本征值对应的本征向量是正交的。

  证明：设 \(\lambda,\mu\in\mathbb F\) 是 \(T\) 的不同的本征值，\(v,w\in \mathbb F\) 是它们各自对应的本征向量。那么 \(\l Tv,w\r_0=\l \lambda v,w\r_0=\lambda\l v,w\r_0\) 且 \(\l v,T^*w\r_0=\l v,\overline{\mu}w\r_0=\mu\l v,w\r_0\)，从而 \(\l v,w\r_0=0\)。

//实数与自伴算子的类比，复数与算子的类比

//正规算子的本质

7.2 谱定理

• 定理 7.2.1（复谱定理）：设 \(\mathbb F=\mathbb C\)，\(T\in\L(V)\)。那么 \(T\) 是正规算子，当且仅当 \(T\) 关于 \(V\) 的某组标准正交基有对角矩阵。

  证明：=>：由定理 6.2.10，\(T\) 关于 \(V\) 的某组标准正交基 \(e_1,\cdots,e_n\) 有上三角矩阵 \(A\)。那么 \(\lv Te_1\rv=\lv A_{1,1}e_1+\cdots+A_{n,1}e_n\rv=|A_{1,1}|^2+\cdots+|A_{n,1}|^2=|A_{1,1}|^2\)，\(\lv T^*e_1\rv=\lv \overline{A_{1,1}}e_1+\cdots\overline{A_{1,n}}e_n\rv=|A_{1,1}|^2+\cdots+|A_{1,n}|^2\)，于是 \(A_{1,2}=\cdots=A_{1,n}=0\)。重复此过程即可证明 \(A\) 是对角矩阵。

  另一种证法：假设我们找到了 \(T\) 的一个特征向量 \(v\)，那么根据引理 7.1.15 \(\span\{v\}\) 同时是 \(T\) 和 \(T^*\) 下不变的子空间，然后再根据引理 7.2.4 递归构造即可。

  <=：\(T^*\) 在这组基上的矩阵是 \(T\) 在这组基上的矩阵的共轭转置，也是对角矩阵，而对角矩阵的乘积显然是可交换的。

• 引理 7.2.2：设 \(T\in\L(V)\) 是自伴算子，\(b,c\in\mathbb R\) 满足 \(b^2-4c<0\)，那么 \(T^2+bT+cI\) 是可逆的。

  证明：反证，假设存在 \(v\neq 0\) 使得 \((T^2+bT+cI)v=0\)。由于 \(b^2-4c<0\)，所以可以分解为 \(((T+dI)^2+e^2I)v=0\) 的形式，其中 \(d,e\in\mathbb R\land e\neq 0\)。而 \(\l ((T+dI)^2+e^2I)v,v\r=\l (T+dI)^2v,v\r+\l e^2v,v\r=\l (T+dI)v,(T+dI)v\r+e^2\l v,v\r>0\)（注意 \(T+dI\) 也是自伴的），矛盾。

• 引理 7.2.3：设 \(\mathbb F=\mathbb R\)，\(V\neq \{0\}\)，\(T\in\L(V)\) 是自伴算子，则 \(T\) 有本征值。

  证明：类似引理 5.2.3，可以找到 \(p\in\mathcal P(\mathbb R)\land p\neq 0\) 和 \(v\in V\land v\neq 0\) 使得 \(p(T)v=0\)。此时可以将 \(p\) 分解为 \(p(x)=c(x^2+b_1x+c_1)\cdots(x^2+b_Mx+c_M)(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_m)\)，其中 \(c,b_i,c_i,\lambda_i\) 都是实数，\(c\) 非零，且 \(b_i^2-4c_i<0\) 对任意 \(i\) 成立。根据引理 7.2.2 知 \((T^2+b_iT+c_iI)\) 是可逆的，而 \(p(T)v=0\) 从而 \(p(T)\) 不可逆，那么就一定存在某个 \((T-\lambda_iI)\) 不是可逆的，也即 \(T\) 有本征值。

• 引理 7.2.4：设 \(T\in\L(V)\)，\(U\) 是 \(V\) 的在 \(T\) 下不变的子空间。那么 \(U^\perp\) 也在 \(T^*\) 下不变。

  证明：\(U\) 在 \(T\) 下不变，说明所有的 \(v\in U,w\in U^\perp\) 的双线性泛函 \(\l v,w\r_1\) 都是 \(0\)，那么 \(U^\perp\) 在 \(T^*\) 下也应不变。

• 定理 7.2.5（实谱定理）：设 \(\mathbb F=\mathbb R\)，\(T\in\L(V)\)。那么 \(T\) 是自伴算子，当且仅当 \(T\) 关于 \(V\) 的某组标准正交基有对角矩阵。

  证明：=>：利用引理 7.2.3 和引理 7.2.4 立即可得。

  另一种证法是，我们先证明 \(T\) 的特征多项式是可以完全分解的：将 \(T\) 的特征多项式在 \(\C\) 上分解，那么这个多项式的所有根都应该是实的，因为这个多项式同时也是 \(\C^n\) 上自伴算子 \(x\mapsto \mathcal M(T)x\) 对应的特征多项式。那么 \(T\) 关于 \(V\) 的某组标准正交基有上三角矩阵，那么再类似定理 7.2.1 的证明方法（或者直接用 \(T=T^*\) 和 \(\mathcal M(T)\) 是上三角的推出 \(\mathcal M(T)\) 是对角的）证明即可。

  <=：实对角矩阵显然是共轭对称的。

//实空间上的任意两个对称双线性泛函是否都有一组共同的正交基？

7.3 正算子与等距同构

• 定义 7.3.1（正算子）：设 \(T\in\L(V)\)。称 \(T\) 是正的，当且仅当 \(T\) 是自伴的且对任意 \(v\in V\) 有 \(\l Tv,v\r\geq 0\)。

正算子对应于满足正性、共轭对称性的双线性泛函。

当 \(\mathbb F=\mathbb C\) 时，\(\l v,v\r_1\in\mathbb R\) 对任意 \(v\in V\) 成立就已经说明双线性泛函满足共轭对称性（根据引理 7.1.11），从而此时只需验证正性即可。

• 定义 7.3.2（平方根）：设 \(R,T\in\L(V)\)。称 \(R\) 是 \(T\) 的平方根，当且仅当 \(R^2=T\)。

• 引理 7.3.3：设 \(T\in\L(V)\)，那么下述条件等价：

  1. \(T\) 是正的。
  2. \(T\) 是自伴的且 \(T\) 的所有本征值非负。
  3. \(T\) 有正的平方根。
  4. \(T\) 有自伴的平方根。
  5. 存在算子 \(R\in\L(V)\) 使得 \(T=R^*R\)。

  证明：1,2,3,4 等价都是简单地利用实谱定理即可。1->4 已经蕴含了 1->5。

  5->1：首先 \(R^*R\) 是自伴的，且对于任意 \(v\in V\)，\(\l R^*Rv,v\r=\l Rv,Rv\r\geq 0\)。

• 定义 7.3.4（正算子的算术平方根）：设 \(T\in\L(V)\) 是正算子，那么存在唯一的正算子 \(R\in\L(V)\) 使得 \(R^2=T\)，将其定义为 \(\sqrt T\)。

  证明：可以将 \(V\) 做关于 \(R\) 的特征空间分解：\(V=E(\lambda_1,R)\oplus\cdots\oplus E(\lambda_m,R)\)，其中两两不同的 \(\lambda_i\) 都是非负数。容易证明 \(E(\lambda_i,R)\subseteq E(\lambda_i^2,R^2)\)，而直和关系 \(E(\lambda_1^2,R^2)\oplus\cdots\oplus E(\lambda_m^2,R^2)\) 本身就成立，所以易得 \(E(\lambda_i,R)=E(\lambda_i^2,R^2)\) 且 \(V=E(\lambda_1^2,R^2)\oplus\cdots\oplus E(\lambda_m^2,R^2)\)。这是 \(T=R^2\) 的本征空间分解，是唯一确定的，从而 \(\lambda_1,\cdots,\lambda_m\) 应该恰为 \(T\) 的所有本征值的算术平方根，而 \(E(\lambda_i,R)=E(\lambda_i^2,R^2)\) 应该恰为 \(T\) 的该本征值对应的本征空间，从而 \(R\) 被唯一确定。

• 定义 7.3.5（等距同构）：设 \(S\in\L(V)\)。称 \(S\) 是等距同构，当且仅当 \(\lv Sv\rv=\lv v\rv\) 对任意 \(v\in V\) 成立。

• 引理 7.3.6：设 \(S\in\L(V)\)，那么下述条件等价：

  1. \(S\) 是等距同构。
  2. \(\l Su,Sv\r=\l u,v\r\) 对任意 \(u,v\in V\) 成立。
  3. 对于任意 \(V\) 的标准正交基 \(e_1,\cdots,e_n\) 有 \(Se_1,\cdots,Se_n\) 也是标准正交的。
  4. 存在 \(V\) 的标准正交基 \(e_1,\cdots,e_n\) 满足 \(Se_1,\cdots,Se_n\) 也是标准正交的。
  5. \(SS^*=I\)。
  6. \(S^*S=I\)。
  7. \(S^*\) 是等距同构。
  8. \(S\) 是可逆的且 \(S^{-1}=S^*\)。

  证明：1->2：\(\l Su,Sv\r=\l S^*Su,v\r\)，而 \(S^*S\) 是自伴算子，从而 \(\l u,v\r_1\) 可以用 \(\l x,x\r_1\) 表示。

  2->3,3->4 显然，4->1：\(\lv Sv\rv=\lv S(a_1e_1+\cdots+a_ne_n)\rv=\lv a_1Se_1+\cdots+a_nSe_n\rv=|a_1|^2+\cdots+|a_n|^2=\lv v\rv\)。

  2<->5,6 显然。1<->7 根据 1<->5,6 可知（也可以通过 5,6 得知 \(S\) 是正规算子来证明）。5,6<->8 显然。

• 引理 7.3.7：设 \(\mathbb F=\mathbb C\)，\(S\in\L(V)\)。那么 \(S\) 是等距同构当且仅当 \(S\) 关于 \(V\) 的某组标准正交基有对角矩阵，且对角线上元素的绝对值均为 \(1\)（注意有可能是复数）。

  证明：=>：正规所以有对角阵。等距所以特征值绝对值只能是 \(1\)。

  <=：显然这组基作用 \(S\) 后仍然保持标准正交性。

• 引理 7.3.8：设 \(S\in\L(V)\) 是等距同构。\(M\) 是 \(S\) 关于 \(V\) 的某组标准正交基的矩阵。那么对于任意 \(1\leq i\leq n\)，\(\sum_{j=1}^n |M_{i,j}|^2=\sum_{j=1}^n|M_{j,i}|^2=1\)。

  证明：\(1=\lv Se_i\rv=\lv M_{1,i}e_1+\cdots+M_{n,i}e_n\rv=|M_{1,i}|^2+\cdots+|M_{n,i}|^2\)。

7.4 极分解与奇异值分解

• 定理 7.4.1（极分解）：设 \(T\in\L(V)\)。那么存在等距同构 \(S\in\L(V)\) 使得 \(T=S\sqrt{T^*T}\)。

  证明：记 \(R=\sqrt{T^*T}\)。那么 \(\l Tu,Tv\r=\l Ru,Rv\r\) 且 \(R\) 是正算子。现在要找到一个等距同构 \(S\) 使得 \(T=SR\)。

  那么显然对 \(\range R\) 中的元素要求 \(S(Rv)=Tv\)。该定义是良的：\(Rv_1=Rv_2\implies \l T(v_1-v_2),T(v_1-v_2)\r=\l R(v_1-v_2),R(v_1-v_2)\r=0\implies Tv_1=Tv_2\)。且容易看出 \(S\) 在 \(\range R\) 上根据我们的定义是线性映射。\(S\) 在 \(\range R\) 上也是等距的：\(\l SRu,SRv\r=\l Tu,Tv\r=\l Ru,Rv\r\)。

  接下来我们只需将 \(S\) 扩充即可，任选 \((\range R)^\perp\) 的一组正交基 \(e_1,\cdots,e_m\) 和 \((\range T)^\perp\) 的一组正交基 \(f_1,\cdots,f_m\)，然后将 \(Se_i\) 映到 \(f_i\) 即可。再利用引理 7.3.6.4，即可证明 \(S\) 是等距同构。

• 定义 7.4.2（奇异值）：设 \(T\in\L(V)\)，定义 \(T\) 的奇异值就是 \(\sqrt{T^*T}\) 的本征值（计重数）。

//\(T\) 的奇异值是否一定包含 \(T\) 的非负的本征值？

• 定理 7.4.3（奇异值分解）：设 \(T\in\L(V)\) 有奇异值 \(s_1,\cdots,s_n\)。则存在 \(V\) 的两组标准正交基 \(e_1,\cdots,e_n\) 和 \(f_1,\cdots,f_n\)，使得 \(Tv=s_1\l v,e_1\r f_1+\cdots+s_n\l v,e_n\r f_n\) 对任意 \(v\in V\) 成立。

  证明：记 \(R=\sqrt{T^*T}\)。那么存在一组 \(V\) 的标准正交基 \(e_1,\cdots,e_n\)，使得 \(Re_i=s_ie_i\) 对任意 \(i\) 成立。根据极分解，存在等距同构 \(T=SR\)，令 \(f_i=Se_i\) 即可。

奇异值分解的矩阵形式是：\(\M(T,(e_1,\cdots,e_n),(f_1,\cdots,f_n))=\begin{pmatrix}s_1&&0\\&\ddots&\\0&&s_n\end{pmatrix}\)。

那么可知 \(T^*\) 的矩阵形式是：\(\M(T^*,(f_1,\cdots,f_n),(e_1,\cdots,e_n))=\begin{pmatrix}s_1&&0\\&\ddots&\\0&&s_n\end{pmatrix}\)

//习题与总结