【CF1463F】Max Correct Set（结论）

题意：

给定 $n$，求最大的 $|S|$ 使得 $S\subseteq\{1,\cdots,n\}$ 且对于任意 $a,b\in S$ 有 $|a-b|\neq x$ 且 $|a-b|\neq y$。

$n\leq 10^9$，$x,y\leq 22$。

题解：

直接上结论：

• 对于一个长为 $x+y$ 的合法方案，它重复若干次得到的方案也是合法的。

  证明：否则若出现非法情况，即存在 $i,j$ 在相邻两段都被选了且 $j-i\in \{x,y\}$，那么考虑 $j$ 对应的上一段的也被选了的位置 $j-(x+y)$，发现 $i-(j-(x+y))=x+y-(j-i)\in\{x,y\}$。这是段内的非法情况，矛盾。

• 最优方案一定是某长为 $x+y$ 的方案重复无限次后的前缀。

  证明：设 $n\bmod (x+y)=r$。据此，我们将任意合法方案按如图 A 方式划分为段：

  

  设每一段中被选的元素数量分别为 $a_1,\cdots,a_{2k+1}$。找到使得 $a_{i}+a_{i+1}$ 最大的 $i$，那么考虑用第 $i$ 段和第 $i+1$ 段对应地去替换其他段，根据第一个结论可知替换后方案仍然是合法的。

  然后考虑证明替换后答案不劣。不妨设 $i$ 为奇数（偶数同理），如图 B，根据定义可知绿色段都小于等于红色段，所以绿色段部分整体是不劣的。而根据 $a_i+a_{i+1}\geq a_{i+1}+a_{i+2}$，可知第 $i+2$ 段被第 $i$ 段替换后也是不劣的。从而整体的答案是不变小的。

那么现在只需知道这个长为 $x+y$ 的方案是什么即可。总贡献相当于给该方案前 $r$ 个数赋权为 $k+1$ 而给剩下的后 $x+y-r$ 个数赋权为 $k$。

连边 $(i,i+x),(i,i+y)$，我们要求的实际上是该图的最大权独立集。而注意到在只考虑前 $x+y$ 个数的情况下，每个数恰好有两条邻边（$i-x,i+y$ 恰有一者在 $[1,x+y]$ 中，$i+x,i-y$ 也是恰有一者在 $[1,x+y]$ 中），从而该图是若干个环。而环上的最大权独立集是容易线性求得的。

总时间复杂度 $O(x+y)$。