第三章 线性映射

在本书的剩余部分,除特殊说明外,总设 W 也是在 F 上的向量空间。

3.1 向量空间的线性映射

  • 定义 3.1.1(线性映射):称函数 T:VW 为线性映射,当且仅当 T 满足:

    1. u,vVT(u+v)=Tu+Tv
    2. λF,vVT(λv)=λ(Tv)

    VW 的所有线性映射的集合记为 L(V,W)

  • 定义 3.1.2(零映射和恒等映射):定义零映射 0L(V,W)0v:=0。定义恒等映射为 IL(V,V)1v:=v

  • 引理 3.1.3:设 v1,,vnV 的基,w1,,wnW,则存在唯一的 TL(V,W) 使得对于任意 1inTvi=wi

  • 定义 3.1.4(L(V,W) 上的加法和乘法):设 S,TL(V,W),λF,定义 S+T 为映射使得 (S+T)(v)=Sv+Tv,定义 λT 为映射使得 (λT)v=λ(Tv)

    容易验证 S+T,λT 都是线性映射。

  • 引理 3.1.5(L(V,W),F,+,×,0) 是向量空间。

  • 定义 3.1.6(线性映射的乘积):设 TL(U,V),SL(V,W),定义映射 ST 使得 (ST)(v)=S(Tv)

    容易验证 ST 是线性映射。

  • 引理 3.1.7(线性映射乘积的代数算律):在适应的定义下:

    • 结合律:(T1T2)T3=T1(T2T3)
    • 单位元:TI=IT=T
    • 分配律:(S1+S2)T=S1T+S2TS(T1+T2)=ST1+ST2
  • 引理 3.1.8:设 TL(V,W),则 T(0)=0

    证明T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0)

3.2 零空间与值域

  • 定义 3.2.1(零空间):设 TL(V,W),定义 T 的零空间为 nullT={vV:Tv=0}

  • 引理 3.2.2:设 TL(V,W),则 nullTV 的子空间。

  • 引理 3.2.3:设 TL(V,W),则 T 是单射当且仅当 nullT={0}

  • 定义 3.2.4(值域):设 TL(V,W),记 T 的值域为 rangeT

  • 引理 3.2.5:设 TL(V,W),则 rangeTW 的子空间。

  • 引理 3.2.6(线性映射基本定理):设 V 是有限维的,TL(V,W),则 rangeT 是有限维的且 dimT=dimnullT+dimrangeT

    证明:考虑 nullT 的一组基 u1,,um,将其扩充为 V 的一组基得到 u1,,um,v1,,vn。考虑证明 Tv1,,TvnrangeT 的一组基。

  • 引理 3.2.7:设 V,W 是有限维的且 dimV>dimW,则 VW 的线性映射一定不是单射。

  • 引理 3.2.8:设 V,W 是有限维的且 dimV<dimW,则 VW 的线性映射一定不是满射。

  • 引理 3.2.9:设 v1,,vnV 的基,TL(V,W) 是单射,那么 Tv1,,TvnrangeT 的基。

    证明a1Tv1++anTvn 两两不同等价于 T(a1v1++anvn) 两两不同。

3.3 矩阵

  • 定义 3.3.1(矩阵):设 m,n 都是正整数,m×n 的矩阵 A 是从 Z1..m×Z1..nF 的映射。

  • 定义 3.3.2(线性映射的矩阵):设 TL(V,W)v1,,vnV 的基,w1,,wmW 的基,定义 T 关于这两组基的矩阵为 m×n 的矩阵 M(T) 满足 Tvi=M(T)1,iw1++M(T)m,iwm

    如果基在上下文中是不自明的,则使用记号 M(T,(v1,,vn),(w1,,wm))

在本书的剩余部分,除特殊说明外,总设 v1,,vnV 的基,w1,,wmW 的基。

  • 定义 3.3.3(矩阵的加法和标量乘法):略。
  • 定义 3.3.4(矩阵乘法):略。
  • 引理 3.3.5:在适应的定义下:
    • M(S+T)=M(S)+M(T)
    • M(λT)=λM(T)
    • M(ST)=M(S)M(T)
  • 引理 3.3.6M 是线性映射。

3.4 可逆性与同构的向量空间

  • 定义 3.4.1(可逆和逆):设 TL(V,W),称 T 为可逆的,当且仅当 T 是双射,记它的逆 T1T 的逆映射。

  • 引理 3.4.2:设 TL(V,W)T 是可逆的,则 T1 是线性映射。

  • 定义 3.4.3(同构):若 V,W 间存在可逆映射,则称 V,W 是同构的。

  • 引理 3.4.4:设 V,W 是有限维的,则 V,W 是同构的当且仅当 dimV=dimW

    证明:考虑 V 的一组基 v1,,vn,证明 Tv1,,TvmW 的一组基即可。而反过来推可以使用引理 3.1.3。

引理 3.4.4 表明,有限维线性空间总是同构于某个 n 对应的 Fn

  • 引理 3.4.5:设 V,W 是有限维的,则 L(V,W) 是有限维的且 dimL(V,W)=dimV×dimW

    证明:设 n=dimV,m=dimW,考虑证明 M:L(V,W)Fn×m 是双射。M 是单射即证不同的线性变换对应的矩阵不同,M 是满射即证任意矩阵都有对应的线性变换。

  • 定义 3.4.6(向量的矩阵):设 vV,定义 M(v)n×1 的矩阵满足 v=M(v)1v1++M(v)nvn

  • 引理 3.4.7:在适应的定义下,M(Tv)=M(T)M(v)

  • 定义 3.4.8(算子):称 VV 自身的线性映射为 V 的算子,记为 L(V)

  • 引理 3.4.9:设 V 是有限维的,TL(V),则下述命题等价:

    1. T 是双射。
    2. T 是单射。
    3. T 是满射。

    证明:根据 dimT=dimnullT+dimrangeT 可推知。

3.5 向量空间的积与商

  • 定义 3.5.1(向量空间的积):设 V1,,Vm 均为向量空间,则定义它们的积为它们的笛卡尔积。规定它们的积上的加法为 (u1,,um)+(v1,,vm)=(u1+v1,,um+vm),标量乘法为 λ(v1,,vm)=(λv1,,λvm)

  • 引理 3.5.2:向量空间的积是向量空间。

  • 引理 3.5.3:设 V1,,Vm 均为有限维向量空间,那么 V1××Vm 也是有限维向量空间,且 dim(V1××Vm)=dimV1++dimVm

  • 引理 3.5.4:设 U1,,Um 均为 V 的子空间,则 U1++Um 是直和当且仅当在 Γ(u1,,um):=u1++um 定义下的 Γ:U1××UmU1++Um 为单射。

    证明:等价于对于任意 (u1,,um)(v1,,vm)u1++umv1++vm

  • 引理 3.5.5:设 U1,,UmV 的子空间且均为有限维的,那么 U1++Um 是直和当且仅当 dim(U1++Um)=dimU1++dimUm

    证明:由引理 3.5.4 可知,dimU1++dimUm=dimnullΓ+dim(U1++Um)

  • 定义 3.5.6(仿射子集和平行):设 vVUV 的子空间,则称 v+U:={v+u:uU}V 的仿射子集,称 v+U 平行于 U

  • 定义 3.5.7(商空间):设 UV 的子空间,定义 V/U:={v+U:vV}

  • 引理 3.5.8:设 UV 的子空间,v,wV,则下述命题等价:

    1. vwU
    2. v+U=w+U
    3. (v+U)(w+U)
  • 定义 3.5.9(商空间上的加法和标量乘法):设 UV 的子空间, v,wVλF,定义 (v+U)+(w+U):=(v+w)+Uλ(v+U):=(λv)+U

    容易证明,该定义是良的。

  • 引理 3.5.10:设 UV 的子空间,则 (V/U) 是向量空间。

  • 定义 3.5.11(商映射):设 UV 的子空间,定义 π:VU/V 使得 π(v):=v+U

  • 引理 3.5.12:商映射是线性映射。

  • 引理 3.5.13:设 V 是有限维的,UV 的子空间,则 dimV/U=dimVdimU

    证明:利用构造的商映射证明。

  • 定义 3.5.14:设 TL(V,W),定义 T~:V/nullTW 使得 T~(v+nullT):=Tv

    容易证明,该定义是良的。

实际上,V/nullT 实际上将 V 中元素划分为若干个等价类,每类中经过 T 变换后得到的值相同,而这些等价类显然依然满足线性性质。

  • 引理 3.5.15:设 TL(V,W),则:
    1. T~ 是线性映射。
    2. T~ 是单射。
    3. rangeT~=rangeT
    4. V/nullT 同构于 rangeT

3.6 对偶

//该章节需更深理解

由于本节作者感觉很难理解,所以会有很多感性部分,证明的大多目的也是为了帮助理解。

  • 定义 3.6.1(对偶空间和线性泛函):定义 V:=L(V,F)V 的对偶空间,其中的元素为 V 的线性泛函。

  • 引理 3.6.2dimV=dimV

    证明:由 dimL(V,W)=dimVdimW 可知。

  • 定义 3.6.3(对偶基):设 v1,,vnV 的基,则 v1,,vn 的对偶基是 V 中的元素 φ1,,φn,其中每个 φj 都是 V 上的线性泛函,使得 φj(vk):=[j=k](注意 φj 是被唯一定义的)。

φj(v) 可以看成是提取 v 的第 j 维坐标。

  • 引理 3.6.4:设 V 是有限维的,则 V 的任意一个基的对偶基都是 V 的基。

    证明f(v)=f(aivi)=aif(vi),所以我们只需要关心 f(v1),,f(vn) 的取值即可,那么只需对应地构造 f=f(v1)φ1++f(vn)φn 即可。

V 中向量是由给 V 的基赋予系数得到的,VF 的线性映射(即 V 中的元素)是由给 V 的基赋予权重得到的。

  • 定义 3.6.5(对偶映射):设 TL(V,W),定义 T 的对偶映射为 TL(W,V) 使得 T(φ)=φTf(g(x))=(fg)(x))。

给一个函数 φ 套一层 T 就是先进行 T 再进行 φ

可以理解为,φ(w) 就是根据 W 的基的权重直接计算 wW 对应的权重,而 (T(φ))(v) 就是要把 vV 先经过线性变换 T 转到 W 空间中,再根据 W 的基的权重进行计算其对应权重。

  • 引理 3.6.6:在适应的定义下:

    1. (S+T)=S+T
    2. (λT)=λT
    3. (ST)=TS

    证明:3:(ST)(φ)=φ(ST)=(φS)T=T(S(φ))

  • 定义 3.6.7(零化子):设 UV,定义 U 的零化子为 U0:={φV:uU,φ(u)=0}

考虑这个奇怪的定义,我们进一步挖掘它的一些性质。考虑包含 U 的最小子空间(即 spanU)为 U,那么根据线性性质可知对 U 中的元素来说 φ(u)=0 仍成立(且这是 uU,φ(u)=0 的等价条件),于是我们找到 U 的一组基 v1,,vn,将其扩展为 V 的基得到 v1,,vn,w1,,wm。前面我们说过,φ 相当于是给 V 的基中的每个向量赋予权重得到,那么发现 uU,φ(u)=0 的条件就是 v1,,vn 的权重为 0,而 w1,,wm 的权重任取。

  • 引理 3.6.8:设 UV,则 U0V 的子空间。

  • 引理 3.6.9:设 V 是有限维的,UV 的子空间,则 dimU+dimU0=dimV

  • 引理 3.6.10:设 TL(V,W)

    1. nullT=(rangeT)0

      证明:使得 T(φ)=φT=0φ,必定是使得 φ(rangeT)=0wrangeT,φ(w)=0)的 φ

    2. dimnullT=dimnullT+dimWdimV

      证明dimnullT=dim(rangeT)0=dimWdimrangeT=dimW(dimVdimnullT)

  • 引理 3.6.11T 是满的等价于 T 是单的。

    证明T 是满的当且仅当 rangeT=W,当且仅当 (rangeT)0={0},当且仅当 nullT={0},当且仅当 T 是单的。

  • 引理 3.6.12:设 VW 都是有限维的,TL(V,W)

    1. dimrangeT=dimrangeT

      证明:若 φ1,φ2L(W,F) 使得 φ1Tφ2T,说明存在 vV 使得 (φ1T)(v)(φ2T)(v),说明存在 wrangeT 使得 φ1(w)φ2(w)。考虑 rangeT 的任意一组基 v1,,vn 并将其扩充至 W 得到 v1,,vn,w1,,wm,那么上述条件等价于 φ1φ2v1,,vn 设置的权重不同。

    2. rangeT=(nullT)0

      证明:设 nullT 的基为 w1,,wm,扩充成为 V 的基得到 v1,,vn,w1,,wn,那么 Tv1,,Tvn 就是 rangeT 的基。那么对于任意 φL(W,F)

      (φT)(a1v1++anvn+b1w1++bmwm)=a1φ(Tv1)++anφ(Tvn)+φ(T(b1w1++bmwm))=a1φ(Tv1)++anφ(Tvn)

      rangeT 就是相当于给 φ(Tv1),,φ(Tvn) 任意设置权重所形成的所有线性泛函。

      而注意到上式可以看成给 (φT)v1,,(φT)vn 任意设置权重所形成的的所有线性泛函,那其实也就是 (nullT)0(注意为使 nullT 映到 0w1,,wn 的权重都应是 0,这也是吻合的)。

  • 引理 3.6.13:设 VW 都是有限维的,TL(V,W),则 T 是单的等价于 T 是满的。

    证明T 是单的,等价于 “若 V 的基是 v1,,vn,则 rangeT 的基是 Tv1,,Tvn”,而根据引理 3.6.12 证明的类似推法,给 Tv1,,Tvn 设置权重等价于给 (φT)v1,,(φT)vn 设置权重,所以等价于 V 的任意线性泛函都能取到,即 T 是满的。

//可以看出,原书作者对于对偶的理解已经很深入了,以致于不用每次像我都要重新用基的定义来解释一遍引理,而是直接有个明确的方向感推推式子就完了。换言之,每条引理在作者脑海中都已有一个简洁而直观的含义。但我目前还没找到正确的对于对偶的理解方式。

  • 定义 3.6.14(转置):略。

  • 引理 3.6.15:设 VW 都是有限维的,TL(V,W),则 M(T)=M(T)T

    证明:设 A=M(T),C=M(T)

    实际上,由于 T(φ)=φT,所以 T(φ) 可以理解为,给定 w1,,wm 关于 φ 的权重以及 T:VW,现在要反推出 v1,,vn 的关于 (φT) 的权重,这只需要做个代入即可:vi 的权重就是 φ(Tvi) 的值,而 φ(Tvi)=φ(A1,iw1++An,iwn)=A1,iφ(w1)++An,iφ(wn)。所以 Ci,j 处(即 wjvi 的贡献)就应该填 Aj,i(即 vi 分解后 wj 处的系数)。那么 C=AT

  • 引理 3.6.16:在适应的定义下,矩阵 A,C 满足 (AC)T=CTAT

结合引理 3.6.15 中所述的 M(T) 的 “逆推” 含义,引理 3.6.16 应该是很直观的。

//事实上,由矩阵的角度,容易看出 (T)=T。但从对偶映射的角度来看好像并不是很显然。

  • 定义 3.6.17(行秩和列秩):行秩就是矩阵的每一行对应的向量张成空间的维数,列秩就是矩阵的每一列对应的向量张成空间的维数。

  • 引理 3.6.18:设 VW 都是有限维的,TL(V,W),则 M(T) 的列秩等于 dimrangeT

    证明M(T) 的每一列向量即 Tv1,,Tvn,它们的张成空间就是 rangeT

  • 引理 3.6.19:设 Amn 列的矩阵,则 A 的行秩等于 A 的列秩。

    证明:转为证明 A 的列秩等于 AT 的列秩,即 dimrangeT=dimrangeT

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