第一章 向量空间

1.1 向量空间

• 定义 1.1.1（向量空间）：向量空间是一个五元组 \((V,(\mathbb F,+,\times,0,1),+,\times,0)\)，其中 \(V\) 是集合，\((\mathbb F,+,\times,0,1)\) 是域，\(+\) 是 \(V\times V\to V\) 的二元运算，\(\times\) 是 \(\mathbb F\times V\to V\) 的二元运算，\(0\) 是 \(V\) 的一个元素。它满足对于任意 \(u,v,w\in V\) 和 \(a,b\in \mathbb F\)：

  1. 交换律：\(u+v=v+u\)。
  2. 结合律：\((u+v)+w=u+(v+w)\)，\((ab)v=a(bv)\)。
  3. 加法单位元：\(v+0=v\)。
  4. 加法逆元：对于任意 \(v\in V\) 存在 \(w\in V\) 使得 \(v+w=0\)。
  5. 乘法单位元：\(1v=v\)。
  6. 分配律：\(a(u+v)=au+av\)，\((a+b)v=av+bv\)。

  有时会直接简称 \(V\) 为在 \(\mathbb F\) 上的向量空间。

  注意，这里有很多混淆的记号（如 \(+,\times,0\)），但在使用中它们具体地含义往往是自明的。

在本书的剩余部分，除特殊说明外，总设 \(V\) 是在 \(\mathbb F\) 上的向量空间。

• 引理 1.1.2（加法单位元唯一）：不存在 \(0'\in V\) 且 \(0\neq 0'\)，使得对于任意 \(v\in V\) 都有 \(0'+v=v\)。

  证明：若存在，则 \(0'=0'+0=0\)。

• 引理 1.1.3（加法逆元唯一）：对于任意 \(v\in V\) 存在唯一的 \(w\in V\) 使得 \(v+w=0\)。

  证明：若 \(w'\) 也是加法逆元，则 \(w=w+0=w+(v+w')=(w+v)+w'=0+w'=w'\)。

• 定义 1.1.4（减法）：设 \(v,w\in V\)，定义：

  • \(-v\) 为 \(v\) 的加法逆元。
  • \(w-v\) 为 \(w+(-v)\)。

• 引理 1.1.5：对于任意 \(v\in V\) 有 \(0v=0\)；对于任意 \(a\in\mathbb F\) 有 \(a0=0\)。

  证明：\(0v=(0+0)v=0v+0v\)，两端都减去 \(0v\) 得到 \(0=0v\)；\(a0=a(0+0)=a0+a0\)，两侧都减去 \(a0\) 得到 \(0=a0\)。

• 引理 1.1.6：对于任意 \(v\in V\) 有 \((-1)v=-v\)。

  证明：\(v+(-1)v=(1-1)v=0\)。

1.2 子空间

• 定义 1.2.1（子空间）：设 \(U\subseteq V\)，称 \(U\) 是 \(V\) 的子空间当且仅当 \(U\) 也是向量空间。

• 引理 1.2.2：设 \(U\subseteq V\)，那么 \(U\) 是 \(V\) 的子空间当且仅当：

  1. \(0\in U\)。
  2. \(u,w\in U\implies u+w\in U\)。
  3. \(a\in\mathbb F,u\in U\implies au\in U\)。

  证明：显然各种运算定律是仍然满足的，我们只需保证 \(0\in U\) 和封闭性即可（为什么加法逆元也在 \(U\) 内？因为 \(-u=(-1)u\)）。

• 定义 1.2.3（子集的和）：设 \(U_1,\cdots,U_m\) 都是 \(V\) 的子集，定义它们的和为 \(U_1+\cdots+U_m:=\{u_1+\cdots+u_m:u_1\in U_1,\cdots,u_m\in U_m\}\)。

• 引理 1.2.4：设 \(U_1,\cdots,U_m\) 都是 \(V\) 的子空间，那么 \(U_1+\cdots+U_m\) 为 \(V\) 的包含 \(U_1,\cdots,U_m\) 的最小子空间。

  证明：利用引理 1.2.2，容易验证 \(U_1+\cdots+U_m\) 是 \(V\) 的子空间。

  另一方面，设 \(W\) 是任意 \(V\) 的包含 \(U_1,\cdots,U_m\) 的子空间。那么对于任意 \(u_1+\cdots+u_m\in U_1+\cdots+U_m\)，由于 \(u_1,\cdots,u_m\in W\)，所以 \(u_1+\cdots+u_m\in W\)，从而 \(U_1+\cdots+U_m\subseteq W\)。

• 定义 1.2.5（直和）：设 \(U_1,\cdots,U_m\) 都是 \(V\) 的子空间。称和 \(U_1+\cdots+U_m\) 为直和，当且仅当其任意一个元素都可以被唯一地表示成 \(u_1+\cdots+u_m\) 的形式，其中 \(u_1\in U_1,\cdots,u_m\in U_m\)。此时将该和记作 \(U_1\oplus \cdots\oplus U_m\)。

• 引理 1.2.6：设 \(U_1,\cdots,U_m\) 都是 \(V\) 的子空间。那么它们的和为直和当且仅当使得 \(u_1+\cdots+u_m=0\) 的 \(u_1\in U_1,\cdots,u_m\in U_m\) 只有 \(u_1=\cdots=u_m=0\)。

  证明：若 \(0\) 只能被唯一表示，而另一元素 \(v\) 有两种表示方法 \(v=u_1+\cdots+u_m=u_1'+\cdots+u_m'\)，那么相减得到 \(0\) 的另一种表示方法 \(0=(u_1-u_1')+\cdots+(u_m-u_m')\)，矛盾。

• 引理 1.2.7：设 \(U,W\) 都是 \(V\) 的子空间，那么 \(U+W\) 为直和当且仅当 \(U\cap W=\{0\}\)。

  证明：若 \(U\cap W\) 包含另一元素 \(v\neq 0\)，那么 \(0\) 有 \(v+(-v)\) 这另一种表示方法；若 \(U\cap W=\{0\}\) 但 \(0\) 有另一种表示方法 \(a+b=0\)，容易发现此时 \(a,b\) 互为加法逆元，那么应有 \(a,b\in U\cap W\)，矛盾。