第二章 有限维向量空间

2.1 张成空间与线性无关

• 定义 2.1.1（线性组合与张成空间）：设 \(v_1,\cdots,v_m\in V\)，定义它们的张成空间为集合

  \[\operatorname{span}(v_1,\cdots,v_m):=\{a_1v_1+\cdots+a_mv_m:a_1,\cdots,a_m\in\mathbb F\} \]

  特别地，空向量组的张成空间为 \(\operatorname{span}():=\{0\}\)。

  称 \(v_1,\cdots,v_m\) 张成 \(\operatorname{span}(v_1,\cdots,v_m)\)。

  称 \(\operatorname{span}(v_1,\cdots,v_m)\) 中的元素为 \(v_1,\cdots,v_m\) 的线性组合。

• 引理 2.1.2：\(V\) 中一组向量的张成空间为 \(V\) 的包含这组向量的最小子空间。

• 定义 2.1.3（有限维向量空间）：称一个向量空间 \(V\) 是有限维向量空间，当且仅当 \(V\) 可以由有限个 \(V\) 中的向量张成。

  若 \(V\) 不是有限维的，则称 \(V\) 是无限维向量空间。

• 定义 2.1.4（线性无关）：设 \(v_1,\cdots,v_m\in V\)，称它们是线性无关的，当且仅当使 \(a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0\) 的 \(a_1,\cdots,a_m\in \mathbb F\) 只有 \(a_1=\cdots=a_m=0\)。

  特别地，规定空向量组是线性无关的。

  若 \(v_1,\cdots,v_m\) 不是线性无关的，则称它们是线性相关的。

• 引理 2.1.5：设 \(v_1,\cdots,v_m\in V\)，那么 \(v_1,\cdots,v_m\) 是线性无关的当且仅当 \(\operatorname{span}(v_1,\cdots,v_m)\) 中的每个元素都可以唯一地被表示成 \(v_1,\cdots,v_m\) 的线性组合。

• 引理 2.1.6：设 \(v_1,\cdots,v_m\in V\) 且它们线性相关，那么存在 \(1\leq j\leq m\) 使得 \(v_j\in \operatorname{span}(v_1,\cdots,v_{j-1})\)，且此时一定有 \(\operatorname{span}(v_1,\cdots,v_{j-1},v_{j+1},\cdots,v_m)=\operatorname{span}(v_1,\cdots,v_m)\)。

  证明：存在 \(a_1,\cdots,a_m\) 使得 \(a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0\) 且 \(a_1,\cdots,a_m\) 非全零。找到最大的 \(j\) 使得 \(a_j\neq 0\)，那么移项后即可证明 \(v_j\in \operatorname{span}(v_1,\cdots,v_{j-1})\)，同时再代入该表示即可证明 \(\operatorname{span}(v_1,\cdots,v_{j-1},v_{j+1},\cdots,v_m)=\operatorname{span}(v_1,\cdots,v_m)\)。

• 引理 2.1.7：设 \(u_1,\cdots,u_m\in V\) 且它们线性无关，\(w_1,\cdots,w_n\in V\) 且它们张成 \(V\)，则 \(m\leq n\)。

  证明：递归地进行如下操作：归纳假设我们现在有一个张成 \(V\) 的向量组 \(v_1,\cdots,v_n\)，其中 \(v_1=u_1,\cdots,v_k=u_k\) 且 \(v_{k+1},\cdots,v_n\in \{w_1,\cdots,w_n\}\)（初始时 \(k=0\)），然后我们将 \(u_{k+1}\) 加入这个向量组中得到 \(u_1,\cdots,u_{k+1},v_{k+1},\cdots,v_n\)，显然此时向量组会变得线性相关，那么根据引理 2.1.6，再结合 \(u_1,\cdots,u_m\) 线性无关的假设，一定存在 \(k+1\leq j\leq n\) 使得从组中删掉 \(v_j\) 后它们仍然张成 \(V\)，那么就能递归到 \(k\) 增大 \(1\) 的情况。注意到这种操作一定能进行到 \(k=m\)，也就是说一定有 \(m\leq n\)。

• 引理 2.1.8：设 \(V\) 是有限维向量空间，那么它的任意子空间 \(U\) 都是有限维的。

  证明：递归地进行如下操作：归纳假设我们现在有一 \(V\) 的有限维子空间 \(W=\operatorname{span}(w_1,\cdots,w_m)\) 且 \(W\subseteq U\) 且 \(w_1,\cdots,w_{m}\) 线性无关（初始时 \(W=\operatorname{span}()=\{0\}\)）。若 \(W\neq U\)，我们任取 \(U\setminus W\) 中的一个元素把它赋值给 \(w_{m+1}\)，此时仍然有 \(\operatorname{span}(w_1,\cdots,w_{m+1})\subseteq U\)（因为 \(w_1,\cdots,w_{m+1}\in U\)）且 \(w_1,\cdots,w_{m+1}\) 线性无关，那么就能递归到 \(m\) 增大 \(1\) 的情况。根据引理 2.1.7 可知这种操作一定能在有限步内结束。

2.2 基

• 定义 2.2.1（基）：称 \(V\) 中的一个向量组为 \(V\) 的基当且仅当它们线性无关且张成 \(V\)。

• 引理 2.2.2：设 \(v_1,\cdots,v_n\in V\)，那么该向量组是 \(V\) 的基当且仅当 \(V\) 中的每个元素 \(v\) 都能唯一被写成 \(a_1v_1+\cdots+a_nv_n\) 的形式，其中 \(a_1,\cdots,a_n\in \mathbb F\)。

• 引理 2.2.3（张成组含有基）：设 \(v_1,\cdots,v_m\in V\) 是 \(V\) 的一个张成组，那么存在 \(\{v_1,\cdots,v_m\}\) 的子集使得它是 \(V\) 的基。

  证明：根据引理 2.1.6，若组仍线性相关，那么能不断地从组中删除元素且仍保持张成 \(V\)，而该操作进行进行有限步。

• 引理 2.2.4：有限维向量空间含有基。

• 引理 2.2.5（线性无关组可以扩充为基）：设 \(V\) 是有限维的，\(v_1,\cdots,v_m\in V\) 是线性无关组，那么该向量组是 \(V\) 的某组基的子集。

  证明：类似引理 2.1.8 的证明。

• 引理 2.2.6：设 \(V\) 是有限维的，\(U\) 是 \(V\) 的子空间，则存在 \(V\) 的子空间 \(W\) 使得 \(V=U\oplus W\)。

  证明：设 \(u_1,\cdots,u_m\) 是 \(U\) 的基，将其扩充为 \(V\) 的基得到 \(u_1,\cdots,u_m,w_1,\cdots,w_n\)，构造 \(W:=\operatorname{span}(w_1,\cdots,w_n)\) 再证明即可。

2.3 维数

• 定义 2.3.1（维数）：设 \(V\) 是有限维的，定义 \(V\) 的维数 \(\dim V\) 为 \(V\) 的基的大小。

  根据引理 2.1.7，容易证明 \(\dim V\) 是唯一的。

• 定义 2.3.2：设 \(V\) 是有限维的，\(U\) 是 \(V\) 的子空间，则 \(\dim U\leq \dim V\)。

  证明：根据引理 2.2.5 可知。

• 引理 2.3.3：设 \(V\) 是有限维的，则 \(V\) 中任意大小为 \(\dim V\) 的线性无关组都是 \(V\) 的基。

  证明：根据引理 2.2.5 可知。

• 引理 2.3.4：设 \(V\) 是有限维的，则 \(V\) 的任意大小为 \(\dim V\) 的张成组都是 \(V\) 的基。

  证明：根据引理 2.2.3 可知。

• 引理 2.3.5：设 \(U_1,U_2\) 是 \(V\) 的子空间且它们是有限维的，则 \(\dim(U_1+U_2)=\dim U_1+\dim U_2-\dim (U_1\cap U_2)\)。

  证明：容易证明 \(U_1\cap U_2\) 是 \(U_1,U_2\) 的子空间。那么 \(U_1\cap U_2\) 存在一组基 \(u_1,\cdots,u_n\)，考虑将其扩充为 \(U_1\) 的一组基 \(u_1,\cdots,u_n,v_1,\cdots,v_m\)，和 \(U_2\) 的一组基 \(u_1,\cdots,u_n,w_1,\cdots,w_k\)。

  显然 \(u_1,\cdots,u_n,v_1,\cdots,v_m,w_1,\cdots,w_k\) 是 \(U_1+U_2\) 的一个张成组，进一步证明它为基。考虑 \(a_1,\cdots,a_n,b_1,\cdots,b_m,c_1\cdots,c_k\in\mathbb F\) 使得：

  \[a_1u_1+\cdots+a_nu_n+b_1v_1+\cdots+b_mu_m+c_1w_1+\cdots+c_kw_k=0 \]

  移项得到：

  \[a_1u_1+\cdots+a_nu_n+b_1v_1+\cdots+b_mv_m=-c_1w_1-\cdots-c_kw_k \]

  左侧是 \(U_1\) 中的向量，从而右侧也应是 \(U_1\) 中的向量。而右侧显然也是 \(U_2\) 中的向量，那么它应该是 \(U_1\cap U_2\) 中的向量，结合 \(U_1\cap U_2\) 的基 \(u_1,\cdots,u_n\) 经过扩充后得到基 \(u_1,\cdots,u_n,w_1,\cdots,w_k\)，可知应该 \(c_1=\cdots=c_k=0\)，从而 \(a_1=\cdots=a_n=b_1=\cdots=b_m=0\)。