【CF1267G】Game Relics（贪心，期望）
题意：
有 \(n\) 种物品，你要全部获得它们。有两种购买方式：
- 花费 \(c_i\) 购买第 \(i\) 种物品。
- 花费 \(x\)，然后随机获得一种物品，如果该种物品已经被获得过了，它将返还你 \(\frac x2\) 的钱。
求最优策略下，获得这 \(n\) 种物品的期望花费。
\(n\leq 100\)，\(x,\sum c_i\leq 10000\)。
题解：
考虑将物品分成两类：
第一类物品满足 \(c_i\leq \frac x2\)。对于这类物品，如果先抽中了它，那么花费 \(x\)；但如果我们先把它买下，那么同样抽中它，但只会花费 \(c_i+\frac x2\leq x\)。所以这类物品我们一定先买下。
第二类物品满足 \(c_i>\frac x2\)。对于这类物品，如果我们先买了它、而在之后有抽奖，那么如果我们把抽奖操作提前，那么如果抽中它，此时只用花费 \(x\)，但原来花费了 \(c_i+\frac x2>x\)；如果没抽中它，那么我们再买下它和在抽之前买下它是等价的。所以对于这类物品，我们显然是先抽奖，然后在某个时刻把剩下没抽中的物品全部买光。既然是这样，我们不妨将原题目的第一种购买方式变为随机选一个未购买的物品 \(i\) 并花费 \(c_i\) 购买它，因为反正在最优策略下随不随机是一样的。
提前处理好第一类物品，现在只考虑第二类物品。假设当前还剩 \(k\) 个物品，那么如果使用抽奖，抽中一个新物品的期望花费是只跟 \(k\) 有关的，记为 \(d_k\)。假设剩下的这 \(k\) 个物品的 \(c_i\) 的和为 \(S\)，我们要决策当前是随机买还是抽奖。由于这两种决策到某种后继状态的概率是相同的，所以我们只需考虑当前步的期望花费最小即可，也就是 \(d_k\) 和 \(\frac Sk\) 的比较。
知道了策略之后如何求答案？注意到 \(\sum c_i\) 不大，直接 DP 即可。
