【UOJ771】【UER11】科考工作（数论，构造）

题意：

给定质数 \(p\) 和 \(2p-1\) 个数 \(a_1,\cdots,a_{2p-1}\)，从中选出 \(p\) 个数使得它们模 \(p\) 意义下的和为 \(0\)，要求给出构造。

\(p\leq 3\times 10^5\)。

题解：

考虑若有一个数出现了 \(\geq p\) 次，我们就直接选它 \(p\) 次即可。否则，容易将 \(2p-1\) 个数两两配对，使得配成 \(p-1\) 对和剩下一个数 \(r\)，且每对中的两个数都不相同。

我们证明存在一组解，使得选了 \(r\) 和 \(p-1\) 对中每一对中的一个数。等价地说，对于任意 \(p-1\) 个非零数，它们的子集和取遍模 \(p\) 的完系。

（通过这种方式，我们将 \(2k\) 个数中选恰好 \(k\) 个数，变为了 \(k\) 个数选一个子集，这是非常巧妙的）

证明依据如下观察：考虑某集合 \(S\subseteq \{0,\cdots,p-1\}\) 和某非零数 \(a\in (0,p-1]\)，若 \(S+a=S\)，则意味着对于任意 \(x\in S\) 和任意 \(t\in\mathbb{N}\)，都有 \(x+at\in S\)，这意味着 \(S\) 为全集。

从而，任意 \(p-1\) 个非零数的所有子集和模 \(p\) 意义下构成的集合大小恰好为 \(p\)。

那么我们证明了有解。至于如何找到一组解，是经典的 modular subset 背包（循环移位可行性背包），可以做到 \(O(p\log^2p)\)。

事实上原问题对于任意 \(n\) 都成立。证明如下：

设 \(n=pq\)，其中问题对于 \(p,q\) 都成立。那么从 \(2pq-1\) 个数中，我们每次选出 \(p\) 个数使得它们的和为 \(p\) 的倍数，这样一共能选 \(2q-1\) 组。再从这 \(2q-1\) 个和中，选 \(q\) 个出来使得它们的和为 \(q\) 的倍数，这样对应回原来一共选了 \(pq\) 个数，且它们的和为 \(pq\) 的倍数。