左偏树原理记录

这玩意老是忘，还是记录一下吧（

考虑一般的合并两棵以 \(x,y\) 为根的堆的过程：

• 若 \(x,y\) 中有一者是 \(0\)，返回另一者。
• 否则不妨设 \(v_x\leq v_y\)，那么我们就是把 \(x\) 设为新的堆的根，然后选 \(x\) 的某一个儿子和 \(y\) 合并。

左偏树就是利用了第一条性质。我们设 “外节点” 表示只有至多一个儿子的节点，设一个点的 “距离” 表示这个点到其子树内最近的外节点的距离。

设节点 \(x\) 的距离为 \(d\)，那么其子树内至少有 \(O(2^d)\) 个节点。于是对于任意一棵大小为 \(n\) 的堆，每个点的 “距离” 都是 \(O(\log n)\) 级别的。

那么当我们合并两棵以 \(x,y\) 为根的堆的时候，假设要选 \(x\) 的某一个儿子和 \(y\) 合并，那么我们就往离 \(x\) 最近的外节点所在的那棵子树（即距离更小的那个儿子）走。这样在两棵堆上都至多走 \(O(\log n)\) 步，所以合并的时间复杂度是 \(O(\log n)\) 的。

而左偏树就是为了方便，强制令左儿子是距离更大的那个儿子，右儿子是距离更小的那个儿子。这样我们每次都往右儿子走即可。

但注意一个点的距离是 \(O(\log n)\) 级别的，但是最深的那个点的深度是 \(O(n)\) 级别的。所以当我们要问一个点所在的左偏树的根的时候，我们需要用路径压缩并查集来加速这个过程。

对了，这玩意还支持打标记，只不过是全局的（但合并之后就是局部的标记了）。