鞅和鞅的停时定理
鞅
一些定义：
- 随机过程：依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。即假设 \(T\) 是指标集，且对于任意 \(t\in T\)，\(X_t\) 都是一随机变量，那么我们就可以称 \(\{X_t|t\in T\}\) 为一随机过程。
- 条件概率：\(P(A|B)\)，表示事件 \(A\) 在事件 \(B\) 发生的条件下发生的概率。
- 独立同分布：对于随机变量 \(X_1,\cdots,X_n\)，若它们服从同一分布，并且互相独立，就称这些变量独立同分布。
- \(Var(X)\)：为随机变量 \(X\) 的方差，等于 \(E((X-E(X))^2)\)，展开后也等于 \(E(X^2)-E(X)^2\)。
接下来介绍鞅的定义，一种最基础的鞅的定义是：
称离散随机过程 \(\{X_0,X_1,\cdots\}\) 是鞅，若对于任意的 \(n\) 都满足：
-
\(E(|X_n|)<\infty\)。
-
\(E(X_{n+1}|X_n,\cdots,X_0)=X_n\)。
这里 \(X_n,\cdots,X_0\) 作为条件概率里的条件，意思是假设随机变量 \(X_n,\cdots,X_0\) 已经确定了。即其等价于：\(\forall x_0,x_1,\cdots,x_n,E(X_{n+1}|X_n=x_{n},\cdots,X_0=x_0)=X_n\)。
一个扩展一点的定义：
称离散随机过程 \(\{Y_0,Y_1,\cdots\}\) 关于随机过程 \(\{X_0,X_1,\cdots\}\) 是鞅，若对于任意的 \(n\) 都满足：
- \(E(|Y_n|)<\infty\)。
- \(E(Y_{n+1}|X_n,\cdots,X_0)=Y_n\)。
注意，第二个条件意味着 \(Y_n\) 仅可能与 \(X_n,\cdots,X_0\) 有关，即在 \(X_n,\cdots,X_0\) 确定的情况下，\(Y_n\) 也是确定的。
观察鞅的定义，我们可以得到这么一个结论：假设 \(Y_n\) 是关于 \(X_n\) 的鞅，那么 \(\forall t,E(Y_t)=E(Y_0)\)。
但注意这个结论并不和鞅定义中第二个条件等价，鞅定义中的第二个条件会比这个结论更加严格。
除此之外还有上鞅和下鞅：如果鞅的第二个条件中的符号变为 $\leq $ 则称其为上鞅；如果变为 \(\geq\)，则称其为下鞅。注意这和 “上”、“下” 的直觉相反。
一道例题：
考虑一个简单的随机游走过程，即 \(S_n=\sum_{k=1}^nX_k\)，且 \(P(X_i=1)=P(X_i=-1)=\frac{1}{2}\)。
-
求证：\(S_n\) 是一个关于 \(X_n\) 的鞅。
证明：第一个条件：\(E(|S_n|)\leq n<\infty\)。
第二个条件：\(E(S_{n+1}-S_n|X_n,\cdots,X_0)=E(X_{n+1}|X_n,\cdots,X_0)=E(X_{n+1})=0\)。
-
求证：\(Y_n=S_n^2-n\) 是一个关于 \(X_n\) 的鞅。
证明：第一个条件：\(E(|S_n^2-n|)\leq E(S_n^2)\leq n^2<\infty\)。第二个条件：
\[\begin{aligned} &E(Y_{n+1}-Y_{n}|X_n,\cdots,X_0)\\ =&E((S_{n+1}^2-(n+1))-(S_n^2-n)|X_n,\cdots,X_0)\\ =&E(S_{n+1}^2-S_n^2-1|X_n,\cdots,X_0)\\ =&\tfrac{1}{2}((S_n+1)^2+(S_n-1)^2)-S_n^2-1\\ =&0 \end{aligned} \]
鞅的停时定理
一些定义：
-
几乎一定：一个事件 \(A\) 几乎一定会发生当且仅当事件 \(A\) 发生的概率为 \(1\)。即 \(A\) 不发生的情况集合可能是非空的，但它们对应的概率为 \(0\)。在样本空间有限时，“几乎一定” 和 “一定” 通常没有区别。但在样本空间无限时，这种区别变得非常重要，因为无限集可以有出现概率为 \(0\) 的非空子集。
例子：在 \([0,1]\) 中任选一个实数，选出的数几乎一定大于 \(0\)。
下面可能还要注意 “趋近于” 和 “等于” 的区别：比如 \(0\) 乘任何数一定是 \(0\)（注意 \(\infty\) 不是 “数”），但一个趋近于 \(0\) 的数乘上一个趋近于 \(\infty\) 的数我们不知道它是什么。
-
停时：关于随机过程 \(\{X_0,X_1,\cdots\}\) 的停时是一个非负的随机变量 \(T\)（可能为 \(\infty\)），满足对于任意的 \(n\)，\([n=T]\) 的取值仅与 \(X_0,\cdots,X_n\) 有关。直观地说，对于任意的时间 \(n\)，你可以仅通过 \(X_0,\cdots,X_n\) 判断 \(T,n\) 的大小关系（当然若 \(T\leq n\)，你也可以得到 \(T\) 的具体取值）。
-
带停时的随机过程：对于随机过程 \(\{X_0,X_1,\cdots,\}\)，设其停时为 \(T\)，定义该随机过程所对应的带停时的随机过程 \(\{\bar X_0,\bar X_1,\cdots\}\)：
\[\bar X_n= \begin{cases} X_n,&n\leq T\\ X_T,&n>T \end{cases} \]当然，一些文章中可能会直接用 \(X_{\min(n,T)}\) 代替 \(\bar X_n\)。
直观地说，\(\{\bar X_0,\bar X_1,\cdots\}\) 就是把 \(\{X_0,X_1,\cdots\}\) 改成在停时之后维持不变的结果。
注意停时 \(T\) 只是一个关于 \(\{X_0,X_1,\cdots,\}\) 的函数，并不是说一个随机过程有停时它就是带停时的。
我们可以证明某个鞅带停时后也是一个鞅：
-
引理 1：设 \(Y_n\) 是一个关于 \(X_n\) 的鞅，那么 \(\bar Y_n\) 也是一个关于 \(X_n\) 的鞅。
证明：我们只需要证明 \(E(\bar Y_{n+1}|X_n,\cdots,X_0)=\bar Y_n\) 即可。
注意 \(X_n,\cdots,X_0\) 是已知的，所以我们可以得到 \(T,n\) 的大小关系：
- 若 \(T\leq n\)，则 \(\bar Y_{n+1}=\bar Y_n\)。
- 若 \(T>n\)，则 \(E(\bar Y_{n+1}|X_n,\cdots,X_0)=E(Y_{n+1}|X_n,\cdots,X_0)=Y_n=\bar Y_{n}\)。
直观地说，对于那些未到停时的过程它们原来就是期望不变的，对于那些已经到停时的过程由于我们已经钦定它们不变了，所以它们也是期望不变的。
推论：\(\cdots=E(\bar Y_1) =E(\bar Y_0)=E(Y_0)=E(Y_1)=\cdots\)。直观上也很容易解释。
接下来介绍鞅的停时定理：
设 \(\{Y_0,Y_1,\cdots\}\) 是一个鞅，\(T\) 是其停时，且 \(T\) 几乎一定有限（\(P(T<\infty)=1\)），若有下列条件之一成立，则有 \(E(Y_T)=E(Y_0)\)：
-
\(T\) 几乎一定有界，即存在一个常数 \(K\) 使得 \(P(T\leq K)=1\)。
证明：
\[\begin{aligned} E(Y_T)&=P(T\leq K)E(Y_T|T\leq K)+P(T>K)E(Y_T|T>k)\\ &=E(Y_T|T\leq K)\\ &=E(\bar Y_K)\\ &=E(Y_0) \end{aligned}： \]一些帮助理解的例子：
- 数轴上从 \(0\) 开始向右游走，每次走长度 \(1\) 或长度 \(2\)，走到当前位置大于等于特定常数 \(S\) 为止。这个是 \(T\) 有界的例子。
- 从 \([0,1]\) 中每次随机选一个实数，直到选出非 \(0\) 数为止。这是 \(T\) 不有界但几乎一定有界的例子。
- 每次抛一枚硬币，直到抛出反面位置。这是 \(T\) 不几乎一定有界的例子。因为对于任意的 \(K\)，\(P(T>K)=\frac{1}{2^K}\)，而即使是 \(K\) 趋近于 \(\infty\) 时，\(P(T>K)\) 也只是趋近于 \(0\)，而不等于 \(0\)。
-
\(\bar Y_n\) 几乎一定有界，即存在一个常数 \(K\) 使得 \(P(|\bar Y_n|\leq K)=1\)。
证明：
\[\begin{aligned} E(Y_T)&=\lim_{n\to \infty}P(T\leq n)E(Y_T|T\leq n)+P(T>n)E(Y_T|T>n)\\ &=\lim_{n\to \infty}P(T\leq n)E(\bar Y_n|T\leq n)+P(T>n)\cdot O(1)\\ &=\lim_{n\to \infty}P(T\leq n)E(\bar Y_n|T\leq n)\\ &=\lim_{n\to \infty}E(\bar Y_n)-P(T>n)E(\bar Y_n|T>n)\\ &=\lim_{n\to \infty}E(\bar Y_n)-P(T>n)\cdot O(1)\\ &=\lim_{n\to \infty}E(\bar Y_n)\\ &=E(Y_0) \end{aligned} \]一些帮助理解的例子：
- 数轴上从 \(0\) 开始随机游走，每次等概率向左或向右移动 \(1\)，走到 \(-m\) 或 \(m\) 为止。那么第 \(n\) 步之后的位置 \(S_n\) 肯定有界 \([-m,m]\)。
-
\(E(T)\) 有限。且 \(E(|Y_{n+1}-Y_n|)\) 几乎一定有界，即存在一个常数 \(K\) 使得 \(P(E(|Y_{n+1}-Y_n|)\leq K)=1\)。
证明：
\[\begin{aligned} &\lim_{t\to \infty}E(Y_T-Y_t)\\ =&\lim_{t\to \infty}P(T>t)E(Y_T-Y_t|T>t)\\ =&\lim_{t\to \infty}\sum_{i=t}^{\infty}P(T>i)E(Y_{i+1}-Y_i|T>i)\\ \leq &\lim_{t\to \infty}\sum_{i=t}^{\infty}P(T>i)K\\ =&K\lim_{t\to\infty}\sum_{i=t}^{\infty}P(T>i)\\ =&K\lim_{t\to \infty}\sum_{i=t}^{\infty}P(T=i)(i-t)\\ \leq &K\lim_{t\to \infty}\sum_{i=t}^{\infty}P(T=i)i\\ \end{aligned} \]考虑设 \(S_n=\sum_{i=0}^nP(T=i)i\)，显然数列 \(S_n\) 趋近于数 \(E(T)\)，那么 \(E(T)-S_n\) 趋近于 \(0\)，所以上式等于 \(0\)。故：
\[E(Y_T)=\lim_{t\to \infty}E(Y_t)=E(Y_0) \]一些帮助理解的例子：
- 首先注意前提条件中的 \(P(T<\infty)=1\) 并不代表着 \(E(T)<\infty\)。比如我们这么构造停时为 \(i\) 的概率：\(P(T=i)=p_i=\frac{6}{\pi^2}\cdot \frac{1}{i^2}\)，显然 \(\sum_{i\geq 0}p_i\) 收敛于 \(1\)，所以 \(P(T<\infty)=1\)。但如果我们要求 \(E(T)=\sum_{i\geq 0}p_ii=\frac{6}{\pi^2}\sum_{i\geq 0}\frac{1}{i}\)，会发现它并不收敛，而是发散的。
讲一个应用的例子吧：
CF1349D Slime and Biscuits
题意：
有 \(n\) 个人，每个人拥有 \(A_i\) 块饼干。
每次随机将一块饼干等概率分给除了其所有者以外的人。
求第一次出现有一个人拥有所有饼干的所需的期望次数。
做法：
停时与 \(a\) 序列有关，我们考虑构造一个鞅，同时携带了 \(A\) 序列和时间这两个信息。
我们大胆地猜想，我们可以构造一个关于 \(A\) 序列的函数 \(F(A)\) 使得 \(Y_t=F(A_t)+t\) 为鞅。进一步的猜想是令 \(F(A)=\sum_{i=1}^nf(a_i)\)。
那么我们就需要满足：
展开后得到：
一个技巧是把 \(1\) 拆到里面去：
注意到这个式子对于 \(A_t\) 为任意序列都成立，所以为了不失一般性，我们应该令：
对于任意的 \(x\in[0,m]\)。
解出 \(f\) 即可，可以做到 \(O(m)\)。那么 \(E(T)=E(F(A_T)+T)-E(F(A_T))=E(Y_T)-E(F(A_T))=E(Y_0)-E(F(A_T))\).
至于为什么这个鞅能用鞅的停时定理，我们可以发现它满足 \(E(|Y_{t+1}-Y_t|)\) 有界，但 \(E(T)<\infty\) 这个我不会证。（但既然题目都让你求它了那它肯定就是有限的）
