五边形数定理和整数划分问题

五边形数：形如 \(\frac{k(3k-1)}{2}\) 的数，其中 \(k\) 为任意整数（可以为负）。

定义欧拉函数：（与 \(\varphi(n)\) 为小于等于 \(n\) 的正整数中与 \(n\) 互质的数的个数不同）

\[\phi(x)=\prod_{i=1}^{\infty}(1-x^i) \]

五边形数定理：

\[\phi(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}(-1)^kx^{\tfrac{k(3k-1)}{2}}=1+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^kx^{\tfrac{k(3k\pm 1)}{2}} \]

证明：十分巧妙，可以见 blog1 或 blog2。

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回到整数划分问题，设 \(p_n\) 表示将 \(n\) 划分为若干个可以相同的正整数的方案数，那么 \(p_n\) 的生成函数为：

\[P(x)=\prod_{i=1}^{\infty}(1+x^i+x^{2i}+\cdots)=\prod_{i=1}^{\infty}\dfrac{1}{1-x^i}=\dfrac{1}{\phi(x)} \]

于是：

\[P(x)\phi(x)=1 \]

考虑左右两边的 \(n\) 次项系数，在 \(n>0\) 时右边的 \(n\) 次项系数为 \(0\)，左边展开得到：

\[p_n-p_{n-1}-p_{n-2}+p_{n-5}+p_{n-7}-\cdots=0 \]

那么 \(p_n\) 就可以 \(O(n\sqrt n)\) 递推了。

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例题：

【LOJ6077】逆序对 加强版

假瑞出的毒瘤题/se

改为 \(m\) 次询问 \(n,k\) 的答案的奇偶性，保证 \(k\leq n\)，\(n,k\leq 10^8\)。

转化为求：

\[[x^k]\dfrac{\prod_{i=1}^n(1-x^i)}{(1-x)^n} \]

设 \(F(x)=\prod_{i=1}^n(1-x^i)\)，\(G(x)=\dfrac{1}{(1-x)^n}\)。

由五边形数定理知 \(F(x)\) 有 \(O(\sqrt n)\) 个位置有值。

考虑 \(G(x)\)，其 \(k\) 次项的组合意义相当于将 \(k\) 拆分为 \(n\) 个自然数的方案数，用插板法可知为 \(\dbinom{k+n-1}{n-1}\)。

注意到 \(\dbinom{k+n-1}{n-1}\bmod 2=1\) 当且仅当 \((k+n-1)\&(n-1)=(n-1)\)，即 \(k\&(n-1)=0\)。

于是：

\[G(x)\equiv \prod_{2^t\&(n-1)=0}(1+x^{2^t}) \]

先 \(O(\sqrt n)\) 把 \(F(x)\) 预处理出来，那么 \(F(x)G(x)\) 就相当于 \(F(x)\) 乘 \(\log n\) 次只有两项的多项式。

使用 bitset 优化即可，时间复杂度 \(O(\sqrt n+\frac{n\log n}{w}+m)\)。