扩展kmp——神奇的字符串匹配
一、引言
一个算是冷门的算法（在竞赛上），不过其算法思想值得深究。
二、前置知识
-
kmp的算法思想，具体可以参考这篇日报。
-
trie树（字典树）。
三、经典扩展kmp模板问题：
扩展kmp的模板问题：
给你两个字符串s,t，长度分别为n,m。
请输出s的每一个后缀与t的最长公共前缀。
哈希是不可能的，这辈子都不可能的。
\(\mathcal{AC}\)自动机？好像更不可做了。
我们先定义一个：\(extend[i]\)表示\(S[i...n]\)与\(T\)的最长公共前缀长度，而题意就是让你求所有的\(extend[i]\)。
注：以下字符串均从1开始计位。
例子：
如果\(S=aaaaaaaaaabaa\)，\(n=13\)
\(T=aaaaaaaaaaa\)，\(m=11\)
由图可知，\(extend[1]=10\)、\(extend[2]=9\)。
我们会发现：在求\(extend[2]\)时，我们耗费了很多时间，但我们可以利用\(extend[1]\)来更快速地求解：
因为已经计算出\(extend[1]=10\)。
所以有：\(S[1...10]=T[1...10]\)
然后得：\(S[2...10]=T[2...10]\)
因为计算\(extend[2]\)时，实际上是\(S[2...n]\)和\(T\)的匹配，
又因为刚刚求出了\(S[2...10]=T[2...10]\)，
所以匹配的开头阶段是求\(T[2...10]\)与\(T\)的匹配。
这时我们可以设置辅助参数：\(next\)，\(next[i]\)表示\(T[i,m]\)与\(T\)的最长公共前缀长度。
那么对于上述的例子：\(next[2]=10\)
即：\(T[2...11]=T[1...10]\)
然后得：\(T[2...10]=T[1...9]\)
\(∴S[2...10]=T[2...10]=T[1...9]\)
也就是说求\(extend[2]\)的匹配的前9位已经匹配成功了，不用再匹配一遍了，可以直接从\(S[11]\)和\(T[10]\)开始匹配，这样我们就省下了很多时间。
这其实就是kmp的思想。
对于一般情况：
设\(extend[1...k]\)已经算好，并且在以前的匹配过程中在S串中的最远位置是\(p\)，即\(p=max(i+extend[i]-1)\)，其中\(i=1...k\)。
然后我们设取这个最大值k的位置是\(p0\)。
首先，根据定义，\(S[p0...p]=T[1...p-p0+1]\)。
我们设\(T[k-p0+1]\)在\(T\)串中对应的位置为\(a\)，\(T[k-p0+2]\)在\(T\)串中所对应的位置为\(b\)。（仅仅是为了下面的讲解方便）
然后令\(L=next[b]\)。
下面分两种情况讨论：
第一种情况：\(k+L<p\)
也就是\(S[k+L]\)这个位置在\(p\)前面，如图：
我们设\(l1=1\)，\(r1=L\)，\(l2=b\)，\(r2=b+L-1\)。（\(b\)的定义在上一张图）
此时\(l1\)、\(r1\)、\(l2\)、\(r2\)的位置如图所示。
也就是说，\(T[l1...r1]=T[l2...r2]\)。
即\(\color{red}{\text{红线}}\)与\(\color{green}{\text{绿线}}\)与\(\color{blue}{\text{蓝线}}\)相等。
然后由\(next\)的定义可知，\(T[r1+1]!=T[r2+1]\)。
又因为\(T[r2+1]=S[k+L+1]\)
所以\(T[r1+1]!=S[k+L+1]\)，这两个字符不一样。
又因为\(\color{red}{\text{红线}}\)与\(\color{blue}{\text{蓝线}}\)相等，这两条线已经匹配成功。
所以\(extend[k+1]=L\)，也就是\(next[b]\)。
所以这段的代码比较简单：
if(i+nxt[i-p0]<extend[p0]+p0)extend[i]=nxt[i-p0];
//i相当于k+1
//nxt[i-p0]相当于L
//extend[p0]+p0相当于p
//因为在代码里我是从0开始记字符串的，所以本应在小于号左侧减1，现在不用了。
第二种情况：\(k+L>=p\)
也就是\(S[k+L]\)这个位置在p前面，如图：
图可能略丑
同样，我们设\(l1=1\)，\(r1=L\)，\(l2=b\)，\(r2=b+L-1\)。
此时\(l1\)、\(r1\)、\(l2\)、\(r2\)的位置如图所示。（\(r1\)的位置可能在\(p-p0+1\)前或后）
同理，\(\color{red}{\text{红线}}\)与\(\color{green}{\text{绿线}}\)与\(\color{blue}{\text{蓝线}}\)相等。
那么我们设\((k+L)\)到\(p\)的这段距离为\(x\)。
那么\(S[k+1...(k+L)-x+1]=S[k+1...p]\)。
又因为：
\(T[l1...r1-x+1]=T[l2...r2-x+1]=S[k+1...(k+L)-x+1]\)
即\(\color{blue}{\text{S1}}\color{black}{=}\color{red}{\text{S2}}\color{black}{=}\color{green}{\text{S3}}\)。
所以\(T[l1...r1-x+1]=S[k+1...p]\)，
也就是说\(T[1...r1-x+1]=S[k+1...p]\)，这一段已经匹配成功了。
即\(\color{blue}{\text{S1}}\)与\(\color{red}{\text{S2}}\)是相等的，已经匹配成功了。
那么我们就可以从\(S[p+1]\)和\(T[r1-x+2]\)开始暴力匹配了，无需再考虑前面的东西。
那么这段的代码长这样：
int now=extend[p0]+p0-i;
now=max(now,0);//这里是防止i>p
while(t[now]==s[i+now]&&now<(int)t.size()&&now+i<(int)s.size())now++;//暴力求解的过程
extend[i]=now;
p0=i;//更新p0
求\(next\)
求\(extend\)的大部分过程已经完成了，现在就剩怎么求\(next\)了，我们先摸清一下求\(next\)的本质：
求T的每一个后缀与T的最长公共前缀长度
听起来好熟悉，我们再看一下题面：
求S的每一个后缀与T的最长公共前缀长度
我们发现求\(next\)的本质和求\(extend\)的本质是一样的，所以我们直接复制重新打一遍就好了。
这其实和\(kmp\)的思想很相似，因为\(kmp\)也是自己匹配一遍自己，再匹配文本串。
要注意的一点是：求\(next\)时我们要从第2位（也就是代码中的第1位）开始暴力，这样能防止求\(next\)时引用自己\(next\)值的情况。
时间复杂度
因为求\(next\)的时间复杂度是\(O(m)\)，求\(extend\)的时间复杂度是\(O(n)\)，所以总时间复杂度：\(O(n+m)\)，即\(S\)串与\(T\)串的长度之和。
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define N 1000010
using namespace std;
int q,nxt[N],extend[N];
string s,t;
void getnxt()
{
nxt[0]=t.size();//nxt[0]一定是T的长度
int now=0;
while(t[now]==t[1+now]&&now+1<(int)t.size())now++;//这就是从1开始暴力
nxt[1]=now;
int p0=1;
for(int i=2;i<(int)t.size();i++)
{
if(i+nxt[i-p0]<nxt[p0]+p0)nxt[i]=nxt[i-p0];//第一种情况
else
{//第二种情况
int now=nxt[p0]+p0-i;
now=max(now,0);//这里是为了防止i>p的情况
while(t[now]==t[i+now]&&i+now<(int)t.size())now++;//暴力
nxt[i]=now;
p0=i;//更新p0
}
}
}
void exkmp()
{
getnxt();
int now=0;
while(s[now]==t[now]&&now<min((int)s.size(),(int)t.size()))now++;//暴力
extend[0]=now;
int p0=0;
for(int i=1;i<(int)s.size();i++)
{
if(i+nxt[i-p0]<extend[p0]+p0)extend[i]=nxt[i-p0];//第一种情况
else
{//第二种情况
int now=extend[p0]+p0-i;
now=max(now,0);//这里是为了防止i>p的情况
while(t[now]==s[i+now]&&now<(int)t.size()&&now+i<(int)s.size())now++;//暴力
extend[i]=now;
p0=i;//更新p0
}
}
}
int main()
{
cin>>s>>t;
exkmp();
int len=t.size();
for(int i=0;i<len;i++)printf("%d ",nxt[i]);//输出nxt
puts("");
len=s.size();
for(int i=0;i<len;i++)printf("%d ",extend[i]);//输出extend
return 0;
}
洛谷上有一道扩展\(kmp\)的模板题：P5410【模板】扩展 KMP
\(bzoj\)和\(hdu\)上也有几道，大家可以去看看：
