勾股数的一些性质

称一个正整数三元组 $(a,b,c)$ 为一组本原勾股数，当且仅当其满足 $a^2+b^2=c^2$ 且 $\gcd(a,b,c)=1$。

不是本原勾股数的勾股数被称作派生勾股数。

任意本原勾股数 $(a,b,c)$ 的任意 $k$ 倍对应着一组勾股数 $(ka,kb,kc)$。同时一组勾股数 $(a,b,c)$ 唯一对应着一组本原勾股数，即 $(\frac{a}{\gcd(a,b,c)},\frac{b}{\gcd(a,b,c)},\frac{c}{\gcd(a,b,c)})$。

• 引理 1：若 $(a,b,c)$ 为本原勾股数，则 $a,b$ 奇偶性不同且 $c$ 为奇数。

  证明：若 $a,b$ 奇偶性相同，则必有 $a^2+b^2=c^2$ 为偶数，则 $c$ 为偶数，$c^2$ 为 $4$ 的倍数。

  若 $a,b$ 均为偶数，则 $2|\gcd(a,b,c)$，矛盾。

  若 $a,b$ 均为奇数，注意到奇数的平方模 $4$ 余 $1$，故 $a^2+b^2\equiv 2\not\equiv c^2\pmod 4$，矛盾。

• 引理 2：若 $(a,b,c)$ 为本原勾股数，则 $\gcd(a,b)=\gcd(a,c)=\gcd(b,c)=1$。

  证明：根据 $a^2+b^2=c^2$，若 $a,b,c$ 中有二者是 $k$（$k>1$）的倍数，则剩下一者也会是 $k$ 的倍数。

• 定理 1（欧几里得公式）：使用如下方法可以找出所有本原勾股数：

  $$\begin{aligned} a&=m^2-n^2\\ b&=2mn\\ c&=m^2+n^2 \end{aligned}$$

  其中 $m>n\geq 1$，$m,n$ 互质且 $m,n$ 奇偶性不同。

  证明：

  首先证明任意本原勾股数都能被表示成定理形式：

  设 $(a,b,c)$ 为本原勾股数，由引理1，不妨设 $a$ 为奇数，$b$ 为偶数，$c$ 为奇数。

  设 $b=2k$，则：

  $$\begin{aligned} a^2+(2k)^2&=c^2\\ 4k^2&=(c+a)(c-a) \end{aligned}$$

  注意到 $c+a,c-a$ 均为偶数，于是得到：

  $$k^2=\frac{c+a}{2}\cdot \frac{c-a}{2}$$

  考虑 $\gcd(\frac{c+a}{2},\frac{c-a}{2})$：

  $$\gcd(\frac{c+a}{2},\frac{c-a}{2})=\gcd(\frac{c+a}{2},a)\leq \gcd(c+a,a)=\gcd(c,a)=1$$

  于是 $\gcd(\frac{c+a}{2},\frac{c-a}{2})=1$，那么 $\frac{c+a}{2},\frac{c-a}{2}$ 应该各自都是平方数。

  接下来令 $m=\sqrt{\frac{c+a}{2}},n=\sqrt{\frac{c-a}{2}}$ 即可。

  再证明任意满足定理形式的 $(a,b,c)$ 都是本原勾股数：

  只需证明 $\gcd(a,b,c)=1$ 即可。分别考虑 $\gcd(a,b),\gcd(b,c),\gcd(a,c)$：

  $$\begin{aligned} \gcd(a,b)&=\gcd(m^2-n^2,2mn)\\ &=\gcd(m^2-n^2,mn)\\ &\leq \gcd(m^2-n^2,m)\gcd(m^2-n^2,n)=1\\ \gcd(b,c)&=\gcd(m^2+n^2,2mn)\\ &=\gcd(m^2+n^2,mn)\\ &\leq \gcd(m^2+n^2,m)\gcd(m^2+n^2,n)=1\\ \gcd(a,c)&=\gcd(m^2-n^2,m^2+n^2)\\ &=\gcd(2m^2,m^2+n^2)\\ &=\gcd(m^2,m^2+n^2)\\ &=\gcd(m^2,n^2)=1 \end{aligned}$$

  其中一些步骤中能把 $\gcd(x,2y)$ 直接变成 $\gcd(x,y)$ 的原因是 $x,2y$ 奇偶性不同。

• 定理 2：$a,b,c$ 均不超过 $N$ 的本原勾股数的数量不超过 $N$。

  证明： 考虑 $c=m^2+n^2\leq N$ 的限制，那么本原勾股数数量的一个上界是：

  $$\sum_{m=1}^{\sqrt N}\sqrt{N-m^2}< N$$

接下来不加证明的给出两个类似的定理，因为我也不会证。

• 定理 3：$a,b,c$ 均不超过 $N$ 的勾股数的数量为 $O(N\log N)$。

  但实际上，通过程序暴力计算，发现当 $N=10^9$ 时，勾股数的数量也只是 $6N$ 左右，因为这玩意常数实在是太小了。

• 定理 4：$a,b$ 均不超过 $N$ 的勾股数的数量为 $O(N\log N)$。

这些结论可以应用于计算方程的解数。比如对于一个三元方程，若能通过换元把它化为 $A^2+B^2=C^2$ 的形式，我们就能在较低的复杂度内找到方程的所有范围内的解。