错排数计数

定义：$\forall i\in[1,n],p_i\neq i$ 的长度为 $n$ 的排列数。

一开始看到的时候还想用容斥推：$\sum\limits_{i=0}^n\binom{n}{i}(-1)^i(n-i)!$，结果发现太垃圾了。

递推法

设 $D(n)$ 表示长度为 $n$ 的错排数，考虑枚举数 $n$ 放在了第 $i$ 个位置（$1\leq i\leq n-1$），然后此时数 $i$ 已经不在自己的位置了，考虑它放在哪：

• 若数 $i$ 放在了第 $n$ 个位置，那么相当于剩下的 $n-2$ 个数的错排问题。
• 若数 $i$ 不放在第 $n$ 个位置，此时看成数 $i$ 也有一个错排限制，于是相当于 $n-1$ 个数的错排问题。

于是有递推式：$D(n)=(n-1)\big(D(n-1)+D(n-2)\big)$。

生成函数法

排列可以看成若干个置换环组成，错排可以看成若干个大小不为 $1$ 的置换环组成。

可知大小为 $n$ 的置换环的数量为 $(n-1)!$，那么大小为 $n(n\geq 2)$ 的置换环数量的 EGF 为：

$$F(x)=\sum_{n\geq 2}\dfrac{(n-1)!}{n!}x^n=\sum_{n\geq 2}\dfrac{x^n}{n}=\left(\int \sum_{n\geq 0}x^{n}\right)-x=\left(\int \dfrac{1}{1-x}\right)-x=-\ln(1-x)-x$$

于是错排数的指数生成函数即为：

$$\exp F(x)=\exp(-\ln(1-x)-x)$$

递推式变换法

算是递推法的进阶。回顾得到的递推式

$$\begin{aligned} d_0&=1,d_1=0\\ d_n&=(n-1)(d_{n-1}+d_{n-2})\\ \end{aligned}$$

做一些变换

$$\begin{aligned} d_n&=nd_{n-1}+(n-1)d_{n-2}-d_{n-1}\\ d_n-nd_{n-1}&=-(d_{n-1}-(n-1)d_{n-2})\\ \end{aligned}$$

记 $e_n=d_n- nd_{n-1}$，初项 $e_1=-1$，且

$$\begin{aligned} e_n&=-e_{n-1}=(-1)^n \end{aligned}$$

那么

$$\begin{aligned} d_n&=nd_{n-1}+(-1)^n\\ \frac{d_n}{n!}&=\frac{d_{n-1}}{(n-1)!}+\frac{(-1)^n}{n!} \end{aligned}$$

记 $f_n=d_n/n!$，初项 $f_0=1$，于是

$$\begin{aligned} f_n&=f_{n-1}+\frac{(-1)^n}{n!}\\ &=\sum_{i=0}^n\frac{(-1)^i}{i!}\\ \end{aligned}$$

那么错排数的指数生成函数为

$$\frac{e^{-x}}{1-x}$$

这和第二种方法推出来是一样的。