【小记】SG函数

记号说明：\([2^k]x\) 表示数 \(x\) 在二进制下第 \(k\) 位（采用这个记号是来自于形式幂级数中记号 \([x^k]f(x)\) 的启发）。

规定游戏如下：给定初始局面，两个人轮流操作，每次使当前局面走到某一个后继局面（局面后继关系图给定，且是 DAG），若没有后继局面则失败（将没有后继局面的局面称为直接必败局面）。

为游戏的每个局面定义一个 \(\operatorname{sg}\) 值，使得对于任意局面 \(u\)，设其 \(\operatorname{sg}\) 值为 \(x\)，满足：

• \(u\) 一定能走到任意 \(\operatorname{sg}\) 值小于 \(x\) 的后继局面。
• \(u\) 一定不能走到 \(\operatorname{sg}\) 值为 \(x\) 的后继局面。
• \(u\) 可能可以走到某些 \(\operatorname{sg}\) 值大于 \(x\) 的后继局面。

且满足：直接必败局面的 \(\operatorname{sg}\) 值为 \(0\)。

考虑从直接必败局面开始，反向递推每种局面的 \(\operatorname{sg}\) 值。

发现每个局面的 \(\operatorname{sg}\) 值一定恰好为其所有后继局面 \(\operatorname{sg}\) 值的 \(\operatorname{mex}\)。

称一个游戏是由 \(n\) 个子游戏构成的，当且仅当：对于该游戏的任意局面，可以将其看成是 \(n\) 个子游戏各自的局面组成的 \(n\) 元组，且其所有可能的后继局面恰为 “将 \(n\) 个子游戏中的某一个的局面替换为其后继局面” 所形成的所有可能的后继局面。

对于一个由 \(n\) 个子游戏构成的游戏，其每个局面的 \(\operatorname{sg}\) 值为所有子游戏对应的局面的 \(\operatorname{sg}\) 值的异或和。

证明：只需证明其满足 \(\operatorname{sg}\) 值所需满足的条件即可（因为 \(\operatorname{sg}\) 值的唯一性已经说明过了）。

若令游戏的每个局面的 \(\operatorname{sg}\) 值为其所有子游戏对应的局面的 \(\operatorname{sg}\) 值的异或和：

对于游戏的任意一个局面 \(u\)，设其 \(\operatorname{sg}\) 值为 \(x\)，设每个子游戏对应局面的 \(\operatorname{sg}\) 值分别为 \(x_1,\cdots,x_n\)，那么 \(x_1\oplus\cdots\oplus x_n=x\)。

• 对于任意 \(y<x\)，\(u\) 一定能走到 \(\operatorname{sg}\) 值为 \(y\) 的后继局面：只需证明存在一个 \(i\) 使得 \(x_i\oplus(x\oplus y)<x_i\) 即可。

  由于 \(y<x\)，所以找到最高位 \(k\) 使得 \([2^k]x\neq [2^k]y\)，那么 \([2^k]x=1\) 而 \([2^k]y=0\)。可以发现 \((x\oplus y)\) 的最高位也应是第 \(k\) 位。

  又由于 \([2^k]x=1\)，所以一定存在 \(i\) 使得 \([2^k]x_i=1\)，那么此时一定有 \(x_i\oplus(x\oplus y)<x_i\)。

• \(u\) 一定不能走到 \(\operatorname{sg}\) 值为 \(x\) 的后继局面：这要求存在某个子游戏 \(i\) 的局面有 \(\operatorname{sg}\) 值等于 \(x_i\) 的后继局面。

• \(u\) 可能可以走到某些 \(\operatorname{sg}\) 值大于 \(x\) 的后继局面：这甚至不能称得上是条件，它显然成立。

而对于任意直接必败局面，容易发现其 \(\operatorname{sg}\) 值为 \(0\)。

证毕。

从而，对于一个游戏，若它是由 \(n\) 个子游戏构成的，我们可以直接令其每个局面的 \(\operatorname{sg}\) 值为所有子游戏对应的局面的 \(\operatorname{sg}\) 值的异或和。

我们现在来证明，一个局面是先手必胜的，当且仅当它的 \(\operatorname{sg}\) 值大于 \(0\)。

好吧这个证明十分简单，我们略去（

从而，我们基本完成了 sg 函数的基础框架的构建。更深入的等遇到了再补吧。