【ZJOI2019】开关（PGF）

听说这玩意叫 PGF？

方便起见，令 \(p_i=\frac{p_i}{\sum_jp_j}\)。

设 \(F_i(x)\) 表示对于第 \(i\) 个开关而言，对其进行 \(k\) 次操作之后，它达到目标状态的概率的 EGF（其实文字不好表达 \(F_i(x)\) 的意思，因为它只是一个辅助生成函数。看下去就能理解 \(F_i(x)\) 的用途），那么有：

\[F_i(x)=\sum_{k\geq 0}[k\bmod 2=s_i]\frac{p_i^kx^k}{k!}=\frac{e^{p_ix}+(-1)^{s_i}e^{-p_ix}}{2} \]

然后设 \(G_E(x)\) 表示 \(k\) 次操作后全体恰好达到目标状态的概率的 EGF（这里的释义才是准确的），有：

\[G_E(x)=\prod_{i=1}^nF_i(x) \]

设 \(R_E(x)\) 表示 \(k\) 次操作后恰好达到全 \(0\) 状态的概率的 EGF，类似地有：

\[R_E(x)=\prod_{i=1}^n\left(\sum_{k\geq 0,2|k}\frac{p_i^kx^k}{k!}\right)=\prod_{i=1}^n\left(\frac{e^{p_ix}+e^{-p_ix}}{2}\right) \]

设 \(G_O(x)\) 表示 \(G_E(x)\) 转回 OGF 后的函数，\(R_O(x)\) 同理。

设 \(H(x)\) 表示 \(k\) 次操作后全体恰好达到目标状态、且之前都没有达到过的概率的 OGF。那么：

\[H(x)R_O(x)=G_O(x) \]

我们要求的是 \(H'(1)\)。

但事实上并没有说的那么简单，一个最主要的问题就是 \(R,G\) 都是无限项的，所以我们先要求出 \(R,G\) 的封闭形式。

观察 \(G_E(x)\)：

\[G_E(x)=\prod_{i=1}^n\frac{e^{p_ix}+(-1)^{s_i}e^{-p_ix}}{2} \]

发现它展开后封闭形式是 \(\sum_k g_ke^{kx}\)，这种形式转 OGF 是方便的：\(G_O(x)=\sum_k \frac{g_k}{1-kx}\)。

那么我们只需求出所有的 \(k\) 和对应的 \(a_k\) 即可。但看起来 \(k\) 的个数貌似是 \(O(2^n)\) 级别的。

事实上，可以发现 \(k\) 一定是 \(\frac{k'}{\sum_{j} p_j}\) 的形式，其中 \(k'\in[-\sum_j p_j,\sum_j p_j]\)。那么 \(k\) 只有 \(O(\sum_jp_j)\) 种。那么我们可以通过一个 \(O(n\sum_jp_j)\) 的 DP 求出每个 \(g_k\)。

同理我们也可以求出 \(R_O(x)=\sum_k\frac{r_k}{1-kx}\)。那么：

\[\begin{aligned} H(x)&=\frac{\sum_{k}\frac{g_k}{1-kx}}{\sum_k\frac{r_k}{1-kx}}\\ &=\frac{g_1+\sum_{k\neq 1}\frac{g_k(1-x)}{1-kx}}{r_1+\sum_{k\neq 1}\frac{r_k(1-x)}{1-kx}} \end{aligned} \]

令 \(A(x)\) 为分母，\(B(x)\) 为分子。有：

\[H(x)'=\frac{A(x)'B(x)-A(x)B(x)'}{B(x)^2} \]

所以我们只需求出 \(A(1),A(1)',B(1),B(1)'\) 即可。这里以 \(A(x)'\) 为例：

\[\begin{aligned} A(x)'&=\left[g_1+\sum_{k\neq 1}\frac{g_k(1-x)}{1-kx}\right]'\\ &=\sum_{k\neq 1}g_k\left[\frac{1-x}{1-kx}\right]'\\ &=\sum_{k\neq 1}g_k\frac{k-1}{(1-kx)^2}\\ A(1)'&=\sum_{k\neq 1}g_k\frac{k-1}{(1-k)^2}\\ &=\sum_{k\neq 1}\frac{g_k}{k-1} \end{aligned} \]

总时间复杂度 \(O(n\sum_jp_j)\)。

#include<bits/stdc++.h>

#define N 110
#define SP 50010

using namespace std;

namespace modular
{
	const int mod=998244353,inv2=(mod+1)>>1;
	inline int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
	inline int dec(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
	inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
	inline void Add(int &x,int y){x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
	inline void Dec(int &x,int y){x=x-y<0?x-y+mod:x-y;}
	inline void Mul(int &x,int y){x=1ll*x*y%mod;}
	inline int poww(int a,int b){int ans=1;for(;b;Mul(a,a),b>>=1)if(b&1)Mul(ans,a);return ans;}
}using namespace modular;

inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}

int n,p[N],sp,sp2,invsp;
int g[SP<<1],r[SP<<1];
bool s[N];

void trans(int *f,int p,bool neg)
{
	static int ff[SP<<1];
	int c1=inv2,c2=(neg?dec(0,inv2):inv2);
	for(int i=0;i+p<=sp2;i++) Add(ff[i+p],mul(c1,f[i]));
	for(int i=sp2;i-p>=0;i--) Add(ff[i-p],mul(c2,f[i]));
	for(int i=0;i<=sp2;i++) f[i]=ff[i],ff[i]=0;
}

int calc(int *f)
{
	return f[sp2];
}

int calcd(int *f)
{
	int ans=0;
	for(int i=-sp;i<=sp;i++)
		if(i!=sp) Add(ans,mul(f[i+sp],poww(dec(mul((i+mod)%mod,invsp),1),mod-2)));
	return ans;
}

int main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) Add(sp,p[i]=read());
	sp2=sp<<1,invsp=poww(sp,mod-2);
	g[sp]=r[sp]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) trans(g,p[i],s[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) trans(r,p[i],0);
	int A=g[sp2],Ad=calcd(g),B=r[sp2],Bd=calcd(r);
	printf("%d\n",mul(dec(mul(Ad,B),mul(A,Bd)),poww(mul(B,B),mod-2)));
	return 0;
}