【XSY4371】star（构造）

题意：

给定值域在 \([0,n-1]\) 的序列 \(a_1,\cdots,a_{m}\)，要求构造值域在 \([0,n-1]\) 的序列 \(b_1,\cdots,b_{m}\) 和 \(c_1,\cdots,c_{m}\)，使得 \(b_i\) 两两不同、\(c_i\) 两两不同、且 \(\forall i,b_i+c_i\equiv a_i\pmod n\)。

\(n\leq 10^5\)。

题解：

首先说明有解的充要条件：

• 若 \(m<n\)，则一定有解；
• 若 \(m=n\)，则有解当且仅当 \(\sum a_i\equiv 0\pmod n\)。

必要性显然。下面的构造性算法将会说明充分性：

考虑逐位构造并调整。假设 \(a\) 序列的前 \(i\) 位已经有了对应的 \(b,c\)，现在需要构造 \(a_i\)。

对于 \(i<n\) 时，可以选出两个未在 \(b\) 中出现的数字 \(x,y\)，构造 \((a_i,x,y)\)：令 \(b_i=x,c_i=a_i-x\)。

此时若 \(c_i\) 未出现过则构造成功。若 \(c_i\) 已经出现过了，假设出现在了 \(c_j\)，那么我们递归构造 \((a_j,y,b_j)\)。

整个过程如左图所示。

可以证明过程中不会出现循环情况：若出现了，如右图，则必有 \(\begin{cases}t_1+v_3\equiv a_{j_1}\equiv t_2+v_2\\t_2+v_4\equiv a_{j_2}\equiv t_3+v_3\\t_3+v_5\equiv a_{j_3}\equiv t_1+v_4\end{cases}\to v_2=v_5\)，矛盾。

所以对于 \(i<n\) 的情况我们一定可以构造成功。而对于 \(i=n\) 的情况，发现只要满足 \(\sum a_i\equiv 0\pmod n\) 那么剩下的 \(b_n,c_n\) 一定满足要求。

我们先将 \(a_i\) 随机打乱。那么每次递归构造 \((a_i,x,y)\) 的时候，扔进来的 \(x\) 实际上可以看做是一个随机数，那么对应的 \(c_i=a_i-x\) 没有出现过的概率为 \(\frac{n-i+1}{n}\)，于是对于 \(i\) 构造的期望递归次数为 \(\frac{n}{n-i+1}\)。那么总时间复杂度期望为 \(O(n\log n)\)。