【XSY4182】下一个（next）（欧拉回路，构造）
题面
题解
我们可以这么转化问题：给每一条边定向，使得每一个点的出度至少为 \(2\)。
证明新问题是原问题的充分条件：定好向后，我们先给每个点随便选一条出边，显然这些边形成若干连通块，且每个连通块点数不大于边数（都是基环树），且每个点都被恰好覆盖一次。然后我们把这些边删去，让剩下的边形成若干连通块，由新问题构造条件可知现在每个点肯定至少有一条出边被选上，于是能保证这些连通块中每个连通块点数不大于边数（都是基环树），且每个点都恰好又被恰好覆盖一次。
如何找呢，每个点度数至少为 \(4\) 是一个很关键的信息。我们先把原图建出来，并设置一个虚点 \(S\)，对于每一个点，如果它的度数为奇数，那么我们就将它和 \(S\) 连一条边。这样每个节点度数都是偶数（可以这么理解，一条边贡献两个度数所以总度数一定是偶数，而除了 \(S\) 以外的所有点的度数都是偶数了，所以 \(S\) 的度数也是偶数）。
然后我们跑欧拉回路，然后直接按欧拉回路的方向定向即可。原因：对于每个点 \(u\)，设 \(deg_u\) 为 \(u\) 在原图上的度数（没加虚边前的）。若 \(deg_u\) 为偶数，那么它的出度为 \(\frac{deg_u}{2}\geq 2\)，满足；若 \(deg_u\) 为奇数，那么我们新连了一条虚边，它的出度至少为 \(\frac{deg_u+1}{2}-1\geq 2\)，满足。
#include<bits/stdc++.h>
#define N 500010
#define M 1000010
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')
{
if(ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
ch=getchar();
}
return x*f;
}
struct Edge
{
int u,v;
};
struct data
{
int v,id;
data(){};
data(int a,int b){v=a,id=b;}
};
const int E=(N+M)<<1;
int n,m,S;
int cnt=1,head[N],nxt[E],to[E];
bool vis[N],dir[E];
int deg[N];
int fa[N];
int tot,num[N];
int ans[M];
vector<data>e[N];
void adde(int u,int v)
{
to[++cnt]=v;
nxt[cnt]=head[u];
head[u]=cnt;
}
void dfs(int u)
{
vis[u]=1;
for(int &i=head[u];i;i=nxt[i])
{
if(dir[i]||dir[i^1]) continue;
int v=to[i];
dir[i]=1;
dfs(v);
}
}
int find(int x)
{
return x==fa[x]?x:(fa[x]=find(fa[x]));
}
void merge(int u,int v)
{
int a=find(u),b=find(v);
if(a!=b) fa[a]=b;
}
int main()
{
n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u=read(),v=read();
deg[u]++,deg[v]++;
adde(u,v),adde(v,u);
}
S=n+1;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(deg[i]&1) adde(i,S),adde(S,i);
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!vis[i]) dfs(i);
for(int i=2;i<=cnt;i++)
{
if(dir[i])
{
int u=to[i^1],v=to[i];
if(u!=S&&v!=S) e[u].push_back(data(v,i/2));
}
}
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
for(int u=1;u<=n;u++)
{
int v=e[u][0].v;
merge(u,v);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(fa[i]==i) num[i]=++tot;
for(int u=1;u<=n;u++)
ans[e[u][0].id]=num[find(u)];
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
for(int u=1;u<=n;u++)
for(int i=1,size=e[u].size();i<size;i++)
merge(u,e[u][i].v);
for(int i=1;i<=n;i++)
if(fa[i]==i) num[i]=++tot;
for(int u=1;u<=n;u++)
for(int i=1,size=e[u].size();i<size;i++)
ans[e[u][i].id]=num[find(u)];
printf("1\n%d\n",tot);
for(int i=1;i<=m;i++)
printf("%d ",ans[i]);
return 0;
}
/*
5 10
1 2
1 3
1 4
1 5
2 3
2 4
2 5
3 4
3 5
4 5
*/
