【XSY3949】取石子游戏（博弈，线段树）
题面
题解
我们把一个有 \(n\) 个石子， Alice 每次能拿 \(a\) 个， Bob 每次能拿 \(b\) 个的堆称为状态 \((n,a,b)\)。石子数太大的时候不利于分析，尝试简化一下：
可以证明状态 \((n,a,b)\) 的结果同 \((n\bmod (a+b),a,b)\) 状态的结果相同。
所以我们只需对每一个 \(n\gets n\bmod(a+b)\)，然后只考虑 \(n<a+b\) 的情况。
注意两人此时的步数是相同的，所以他们各自的最优策略是最大化“他们自己接下来走的步数-另一个人接下来走的步数”，不妨设这个值对于两人而言是 \(s_a,s_b\)。
对于每个堆分类讨论：
-
若 \(n<a,b\)，那么两人都不能取这个堆，直接扔掉。
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若 \(a\leq n<b\) 或 \(b\leq n<a\)。不妨是 \(a\leq n<b\)（\(b\leq n<a\) 的情况同理），此时这一堆只有 Alice 可以取，那么直接对 \(s_a\) 贡献 \(\left\lfloor\dfrac{n}{a}\right\rfloor\)。
-
若 \(a,b\leq n\)，注意到 \(n<a+b\)，所以此时只要有一个人在这个堆里取了石子，另一个人就不能取了，换言之前者 “占领” 了这堆石子。那么对于 Alice 来说，如果她 “占领” 了这堆石子，那么她可以多走 \(\left\lfloor\dfrac{n}{a}\right\rfloor\) 步，Bob 同理。
可能有人觉得此时 Alice 按 \(\left\lfloor\dfrac{n}{a}\right\rfloor\) 从大到小 “占领”、Bob 按 \(\left\lfloor\dfrac{n}{b}\right\rfloor\) 从大到小 “占领” 就可以了，但这并不符合最优策略。
不妨设满足 \(a,b\leq n<a+b\) 的堆一共有 \(m\) 堆。对于第 \(i\) 堆，设如果先手 “占领” 了这堆石子，先手可以多走 \(A_i\) 步，如果对手 “占领” 了这堆石子，对手可以多走 \(B_i\) 步。设 \(A_i\) 的总和为 \(SA\)，\(B_i\) 的总和为 \(SB\)。
假设先手取的堆的编号为 \(p_1,p_2,\cdots,p_k\)，那么先手和后手的步数差等于：
\[\begin{aligned} D_A=&A_{p_1}+\cdots+A_{p_k}-(B-B_{p_1}-\cdots-B_{p_k})\\ =&(A_{p_1}+B_{p_1})+\cdots+(A_{p_k}+B_{p_k})-SB \end{aligned} \]那么后手和先手的步数差也可以同理推出：\(D_B=(A_{p_1}+B_{p_1})+\cdots+(A_{p_k}+B_{p_k})-SA\)。
由于双方都需要优化他们各自的 \(D\)，而 \(SA\)、\(SB\) 又是一个定值，所以他们都会按 \((A_i+B_i)=\left\lfloor\dfrac{n}{a}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{n}{b}\right\rfloor\) 从大到小轮流 “占领”。
注意占领也是需要步数的，那么如果 \(m\) 为奇数，先手会多耗费一步占领。所以为了维护这个东西，不妨把 \(A_i\gets A_i-1\)，\(B_i\gets B_i-1\)。
至于维护这个东西，先把 \((A_i+B_i)\) 离线下来排序再用线段树即可。
所以三种情况我们都处理完了。
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
#define N 200010
#define lc (k<<1)
#define rc (k<<1|1)
#define int long long
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')
{
if(ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
ch=getchar();
}
return x*f;
}
int n,x[N],a[N],b[N];
int suma[N],sumb[N];
int tot,p[N],q[N],rk[N];
int s[N],pa[N],pb[N];
int sum[N<<2][2];
bool size[N<<2];
bool cmp(int a,int b)
{
return p[a]>p[b];
}
void up(int k)
{
size[k]=size[lc]^size[rc];
if(size[lc])
{
sum[k][1]=sum[lc][1]+sum[rc][0];
sum[k][0]=sum[lc][0]+sum[rc][1];
}
else
{
sum[k][1]=sum[lc][1]+sum[rc][1];
sum[k][0]=sum[lc][0]+sum[rc][0];
}
}
void update(int k,int l,int r,int x,int y)
{
if(l==r)
{
size[k]=1;
sum[k][1]=y;
sum[k][0]=0;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid) update(lc,l,mid,x,y);
else update(rc,mid+1,r,x,y);
up(k);
}
signed main()
{
// freopen("ex_C2.in","r",stdin);
// freopen("ex_C2_my.out","w",stdout);
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
x[i]=read(),a[i]=read(),b[i]=read();
x[i]%=(a[i]+b[i]);
suma[i]=suma[i-1],sumb[i]=sumb[i-1];
s[i]=s[i-1],pa[i]=pa[i-1],pb[i]=pb[i-1];
if(x[i]<a[i]&&x[i]<b[i]) continue;
if(x[i]<a[i])
{
sumb[i]+=x[i]/b[i];
continue;
}
if(x[i]<b[i])
{
suma[i]+=x[i]/a[i];
continue;
}
p[i]=x[i]/a[i]+x[i]/b[i]-2,q[++tot]=i;
s[i]+=p[i],pa[i]+=x[i]/a[i]-1,pb[i]+=x[i]/b[i]-1;
}
sort(q+1,q+tot+1,cmp);
for(int i=1;i<=tot;i++) rk[q[i]]=i;
bool tag=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(rk[i]) update(1,1,tot,rk[i],p[i]),tag^=1;
int fi=sum[1][1];
// int se=(s[i]-sum[1])/2;
int tmp=suma[i]-sumb[i]+fi-pb[i];
bool Af=(tmp>0||(tmp==0&&tag));
tmp=sumb[i]-suma[i]+fi-pa[i];
bool As=(tmp<0||(tmp==0&&(!tag)));
if(Af&&As) puts("Alice");
else if((!Af)&&(!As)) puts("Bob");
else if(Af) puts("First");
else if(As) puts("Second");
}
return 0;
}
/*
4
3 2 4
4 5 2
1 1 2
5 3 4
*/
