【XSY3929】PQ 树（区间dp）
题面
题解
注意到题目中提到了 “合法的 PQ 树都能表示出 \(1,2,3,\cdots,n\) 这个排列"。那么如果我们把所有叶子节点按它们的数字按 \(1\sim n\) 从左到右排，形成的 PQ 树是没有相交边的，也就是说不会出现这种情况：
你也可以理解成一棵子树一定存着的是一段连续的数字区间（顺序不一定是有序的）。
不难发现如果此时两课 PQ 树的形态不同，他们能表示出来的集合也不同。
那我们考虑区间dp，设 \(f(i,j)\) 表示仅考虑 \([i,j]\) 中的数字，他们恰好形成一棵子树的方案数是多少。
你发现，如果 \([i,j]\) 形成了一棵子树，那么不管这棵子树上面再怎么连，\([i,j]\) 都一定是靠在一起的。
所以 \([i,j]\) 能形成一棵子树，当且仅当给出的 \(k\) 个排列中的 \([i,j]\) 都是靠在一起的。不妨称这样的 \([i,j]\) 是 “好的”。
然后再设 \(g(i,j)\) 表示仅考虑 \([i,j]\) 中的数字，他们形成 \(\geq 1\) 棵子树的方案数是多少。
那么对于 P 节点，转移方程就显而易见了（详见代码）。
而对于 Q 节点，我们的要求会更严格。
具体来说，如果 \([i,j]\) 形成了一棵以 Q 节点为根的子树。不妨设这个 Q 节点有若干个儿子 \(v_1,v_2,\cdots,v_m\)（\(m\geq 3\)），那么我们不仅需要保证给出的 \(k\) 个排列中这 \(m\) 个儿子所代表的的数字区间是靠着的，还需要保证 \(k\) 个排列中这些数字区间是以正序（或反序）排列的。
不妨设 \(h(i,j)\) 表示仅考虑 \([i,j]\) 中的数字，他们形成 \(\geq 2\) 棵子树，且这些子树在 \(k\) 个排列中都是按正序（或反序）排序的。
转移也详见代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define N 510
using namespace std;
namespace modular
{
const int mod=1000000007;
inline int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
inline int dec(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
}using namespace modular;
inline int read()
{
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')
{
if(ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
ch=getchar();
}
return x*f;
}
int k,n,a[N],num[N][N];
int f[N][N],g[N][N],h[N][N];
//f[l,r]:[l,r]恰好构成一棵树
//g[l,r]:[l,r]构成>=1棵树
//h[l,r]:[l,r]构成>=2棵树，且分成的树在k个序列中按正/反序排序
int sum[N][N];
bool good[N][N];
int main()
{
k=read(),n=read();
for(int i=1;i<=k;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++) a[j]=read();
for(int l=1;l<=n;l++)
{
int minn=a[l],maxn=a[l];
for(int r=l;r<=n;r++)
{
minn=min(minn,a[r]);
maxn=max(maxn,a[r]);
if(maxn-minn+1==r-l+1) num[minn][maxn]++;
}
}
}
for(int l=1;l<=n;l++)
{
for(int r=l;r<=n;r++)
{
good[l][r]=(num[l][r]==k);
sum[l][r]=sum[l][r-1]+good[l][r];
}
}
for(int l=n;l>=1;l--)
{
for(int r=l;r<=n;r++)
{
if(l==r)
{
f[l][r]=g[l][r]=1;
continue;
}
if(!good[l][r])
{
for(int i=l;i<r;i++)
g[l][r]=add(g[l][r],mul(f[l][i],g[i+1][r]));
continue;
}
for(int i=l;i<r;i++)
{
if(good[l][i])
{
f[l][r]=add(f[l][r],mul(f[l][i],g[i+1][r]));
g[l][r]=add(g[l][r],mul(f[l][i],g[i+1][r]));//>=2
h[l][r]=add(h[l][r],mul(f[l][i],f[i+1][r]));//=2//这里本来应该有一个前提要求good[l][r]=1，但前面判断过就舍去了
if(sum[l][r-1]-sum[l][i]>=1)
//这里的意思是good[l][i+1~r-1]至少有一个值是1，这样就能保证[l,i]这棵子树和第二棵子树是连在一起的（也就是正序或反序）
//good[l][r]=1不能统计，因为Q节点要求儿子数>=3
{
f[l][r]=add(f[l][r],mul(f[l][i],h[i+1][r]));
h[l][r]=add(h[l][r],mul(f[l][i],h[i+1][r]));//>=3
}
}
}
g[l][r]=add(g[l][r],f[l][r]);//=1
}
}
printf("%d\n",f[1][n]);
return 0;
}
/*
1 2
1 2
*/
/*
2 4
1 2 3 4
1 2 4 3
*/
/*
4 8
5 3 1 2 4 6 7 8
8 7 6 5 2 1 3 4
1 2 3 4 5 6 7 8
8 7 5 6 3 2 1 4
*/
