【XSY3917】分数（思维，构造）
题面
题解
手推一下发现最优策略是：（不会证）
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若 \(x<0\)，则不断 \(x\gets x+1\) 直到 \(x\geq 0\) 为止。
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若 \(x>0\)，则 \(x\gets -\dfrac{1}{x}\)。
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若 \(x=0\)，终止。
也就是说，设开始时 \(x=\dfrac{a}{b}<0\)（若 \(x>0\) 则执行 \(2\) 操作），其中 \(a<0\)，\(b>0\)。
用 \((a,b)\) 表示 \(\dfrac{a}{b}\)，那么上述操作本质是不断将 \((a,b)\xrightarrow{\text{若干次操作1}} (b-(-a)\bmod b,b)\xrightarrow{\text{操作2}} (-b,b-(-a)\bmod b)\)。
为了方便，用 \(\xrightarrow{k}\) 表示 \(\xrightarrow{\text{k次操作1}}\)，用 \(\Rightarrow\) 表示 \(\xrightarrow{\text{操作2}}\)。
看上去很像辗转相除法，但时间复杂度是不对的，举个反例很容易证明： \((-1,114514)\xrightarrow1 (114513,114514)\Rightarrow(-114514,114513)\xrightarrow1(-1,114513)\)。
所以暴力模拟是 \(O(V)\) 的（其中 \(V\) 为 \(a,b\) 值域）。
但有一种神仙优化方法：
设当前 \((-a,b)\)，考虑在 \(0<b<a<2b\) 时，显然要进行的操作是：
发现 \(a'=b=a-(a-b)\)，\(b'=-a+2b=b-(a-b)\)，所以新的 \(a'\)、\(b'\) 其实是在 \(a\)、\(b\) 的基础上各减去了 \(a-b\)，而且 \(a'-b'=a-b\) 不变。
那么如果当前 \((-a,b)\)，且满足 \(0<b<a<2b\)，我们就可以不断对 \(a\)、\(b\) 减去 \(a-b\) 直到当前不满足 \(0<b<a<2a\) 为止。列方程易解得最多减去 \(\left\lceil\dfrac{2b-a}{a-b}\right\rceil\) 次。所以这个过程用除法 \(O(1)\) 计算即可。
这种算法的时间复杂度是 \(O(\log V)\) 的。
时间复杂度证明：（来自syh巨佬）
考虑证明 \(b\) 在上述综合算法下是指数级下降的。
设当前为 \((-a,b)\)，其中 \(a,b>0\)。如果 \(a\) 不是 \(b\) 的倍数的话，显然会进行如下操作：
（其中 \(k\) 为满足 \(-a+kb>0\) 的最小的 \(k\)，显然 \(0<-a+kb<b\)）
设 \(a'=b\)，\(b'=-a+kb\)，那么 \(b'<a'\)。分两种情况讨论：
-
若 \(b'\leq\dfrac{b}{2}\)，那么 \(b'\leq\dfrac{b}{2}\)。
废话 -
若 \(b'>\dfrac{b}{2}\)，则 \(b'>\dfrac{b}{2}=\dfrac{a'}{2}\)，即 \(a'<2b'\)，又 \(b'<a'\)，所以满足 \(b'<a'<2b'\)，可以进行刚刚讲到的优化算法：
对于 \((a',b')\)，不断对分母分子减去 \((a'-b')\) 直到当前的 \(b''\) 不满足 \(b''<a''<2b''\) 为止。
由于我们证明过 \(a''-b''=a'-b'>0\)，即 \(a''\) 恒大于 \(b''\) 的，所以当上述条件不满足时，必是 \(a''>2b''\)。
则 \(b''<\dfrac{a''}{2}<\dfrac{a'}{2}=\dfrac{b}{2}\)。
所以无论如何，在每次 \(O(1)\) 的操作后，一定有 \(b'\leq \dfrac{b}{2}\)。
所以时间复杂度为 \(O(\log V)\)。
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read()
{
ll x=0;
int f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')
{
if(ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
x=(x<<1ll)+(x<<3ll)+(ch^'0');
ch=getchar();
}
return x*f;
}
int t;
ll a,b,ans;
ll gcd(ll a,ll b)
{
return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
ans=0;
a=read(),b=read();
if(b<0) b=-b,a=-a;
if(a>0)
{
swap(a,b),a=-a;
ans++;
}
a=-a;
while(a)
{
if(!(a%b))
{
ans+=a/b,a=0;
continue;
}
if(b<a&&a<2ll*b)
{
ll tmp=(2ll*b-a)/(a-b);//这里应该用ceil，但我精度炸了，所以先向下取整再if判断一下
ll x=a-b;
a-=tmp*x,b-=tmp*x;
if(b<a&&a<2ll*b)
{
a-=x,b-=x;
tmp++;
}
ans+=3ll*tmp;
}
else
{
ll tmp=a/b+1;
ll t=a;
a=b,b=-t+tmp*b;
ans+=tmp+1;
}
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
/*
5
0 1
1 1
-1 2
-2 4
-8 -5
*/
