【XSY3905】字符串题（lyndon串，构造）

题面

字符串题

题解

设所有长度不超过 \(n\) 的串的集合为 \(S\)。

考虑找到一种方法，能够对一个 lyndon 串 \(A\) ，直接求出 \(A\) 的下一个 lyndon 串。方法如下：

1. 先将 \(A\) 不断复制， 取出前 \(n\) 位作为新的 \(A\) ，即 \(A\leftarrow AAA⋯\) 的前 \(n\) 位。
2. 如果 \(A\) 的最后一位是 \('a'+m-1\)，即字符集中最大的字符，则将其删去，一直删除直到最后一位不为 \('a'+m-1\)。
3. 将 \(A\) 的最后一个字符变为这个字符在字符集中的后继。（其实 2、3 操作的实质是找到 1 操作后的 \(A\) 在字典序中的下一个字符串。

设构造出的串为 \(B\)。证明这种方法的正确性，只需要证明 \(B\) 是 lyndon 串，且 \(B\) 是 \(S\) 中字典序大于 \(A\) 的最小的 lyndon 串。

• 先证 \(B\) 为 lyndon 串：

  根据构造方式，设 \(A=a_1a_2⋯a_{|A|}\)。显然可以发现 \(B\) 为 \(AA⋯Aa_1a_2⋯a_x(a_{x+1}+1)\) 的形式，其中 \(1\leq x<|A|\)。由于 \(A\) 为 lyndon 串，所以对 \(\forall 1<i≤|A|\)，有 \(a_ia_{i+1}\cdots a_{|A|}a_1a_2⋯a_{i−1}>a_1a_2⋯a_{|A|}\) 。

  不难发现 \(B\) 的循环移位中 \(B\) 为其中的严格最小值，所以 \(B\) 为 lyndon 串。

• 再证 \(A,B\) 之间没有 \(lyndon\) 串：

  如果有一个 \(S\) 中的串 \(T\) 字典序在 \(A,B\) 之间且为 lyndon 串，由构造方法可以知道 \(A<T<AAA⋯\) 。

  设 \(T=AA⋯AT′\)，其中 \(T'\) 的前 \(|A|\) 位不等于 AA ，显然有 \(T'<A\)，则以 \(T'\) 开头的循环移位小于 \(T\) ，与 \(T\) 是 lyndon 串矛盾。

由于大部分满足条件的 lyndon 串的长度均为 \(n\)，这个算法均摊复杂度为 \(O(1)\)，可以 \(O(x)\) 通过此题。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
 
#define S 35
#define N 200010
 
using namespace std;
 
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-') f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
 
struct Query
{
    int x,id;
}q[N];
 
bool operator < (Query a,Query b)
{
    return a.x<b.x;
}
 
int n,m,Q;
int len;
char s[S],Ans[N][S];
 
int main()
{
    n=read(),m=read(),Q=read();
    for(int i=1;i<=Q;i++)
        q[i].x=read(),q[i].id=i;
    sort(q+1,q+Q+1);
    len=1;
    s[0]='a';
    int tmp=1;
    while(tmp<=Q&&q[tmp].x==1)
    {
        for(int i=0;i<len;i++)
            Ans[q[tmp].id][i]=s[i];
        tmp++;
    }
    for(int i=2;i<=q[Q].x;i++)
    {
        int nowl=len;
        while(1)
        {
            for(int i=0;i<nowl&&len<n;i++)
                s[len++]=s[i];
            if(len==n) break;
        }
        while(len>0&&s[len-1]=='a'+m-1) len--;
        s[len-1]++;
        while(tmp<=Q&&q[tmp].x==i)
        {
            for(int i=0;i<len;i++)
                Ans[q[tmp].id][i]=s[i];
            tmp++;
        }
    }
    for(int i=1;i<=Q;i++)
    {
        for(int j=0;Ans[i][j];j++)
            putchar(Ans[i][j]);
        puts("");
    }
    return 0;
}