【XSY3896】相似（dp套dp，状压）
题面
题解
可以发现，\(S\) 和 \(T\) 相似，等价于它们的最长公共子序列长度至少为 \(n - k\)。
首先考虑如何求出两个字符串的 \(\text{LCS}\)（最长公共子序列）。考虑 dp：
设 \(f_{i,j}\) 表示 \(S[1\sim i]\) 与 \(T[1\sim j]\) 的 \(\text{LCS}\) 长度，转移是显然的：
然后考虑如何拓展到 \(T\) 任意的情况。自然的想法是 dp 套 dp：
设 \(dp[j][f_{1,j},f_{2,j},\cdots,f_{n,j}]\) 表示只考虑 \(T\) 的前 \(j\) 位，那么这 \(j\) 位有多少种选取方式，使此时的 \(f_{*,j}\) 数组如 dp 下标所示。
这个状态设计显然是可以优化的，不难证得 \(f_{i+1,j}-f_{i,j}\in\{0,1\}\)，又由于 \(f_{0,j}=0\)，所以我们把 \(dp\) 数组的第二维变成差分数组 \(c_i=f_{i+1}-f_{i,j}\) 的 01 串状压即可。
考虑这个 dp 的时间复杂度，状态数是 \(O(n2^n)\) 的。直接暴力 DP 的时间复杂度就约为 \(O(2^n\operatorname{poly}(n))\)。考虑如何利用 \(k\) 很小这个性质进行优化。
首先考虑优化状态数。
考虑某个满足 \(|i-j|>k\) 的 \(f_{i,j}\)（显然有 \(f_{i,j}\leq \min(i,j)\)），再考虑这个 \(f_{i,j}\) 转移到 \(f_{n,n}\) 时最大会变成多少：观察最上面给出的 \(f_{i,j}\) 递推式，显然按第一种情况转移值才会变大，而第一种情况最多转移 \(\min(n-i,n-j)\) 次，所以从 \(f_{i,j}\) 转移到 \(f_{n,n}\) 时的值不大于：
所以这个 \(f_{i,j}\) 不可能使 \(f_{n,n}\geq n-k\)。
于是，与其记录整个 \(f\) 数组，我们只需要记录 \(f_{j−k,j} , f_{j−k+1,j},\cdots, f_{j+k,j}\)，这可以通过一个长度为 \(2k\) 的差分数组以及一个 \(f_{j,j}\) 得到。（这个差分数组也可以用 01 串状压表示）
又由于 \(f_{j,j}\) 的值必须介于 \([j − k, j]\) 之间才能使 \(f_{n,n}\geq n-k\)，所以我们将 \(dp\) 数组的第二维换成一个数 \(x\in [0,k]\) 表示 \(f_{j,j}=j-k+x\)，第三维换成差分数组的 01 串状压。此时 \(dp\) 的总状态数只有 \(O(nk2^{2k})\)。
再考虑优化转移。
转移的过程是这样的：对于 \(dp[j][x][sta]\)，枚举一个字符 \(c\) 为 \(T[j+1]\)，向 \(dp[j+1][x'][sta']\) 转移。（其中 \(x'\) 和 \(sta'\) 需要我们计算出来）
为了方便转移，我们可以先预处理一个 pair 数组 \(turn[j][x][sta][match]\)，表示当 \(dp[j][x][sta]\) 向 \(dp[j+1][x'][sta']\) 转移，枚举的字符 \(c\) 和 \(S[j-k+1],S[j-k+2],\cdots,S[j+k+1]\) 的匹配状态为 \(match\) 时，\(x'\) 和 \(sta'\) 分别是多少。
也就是说，我们知道了 \(f_{j-k\sim j+k,j}\) 和 \(match\)，要求此时的 \(f_{j-k+1\sim j+k+1,j+1}\)。
按照最上面的递推式正常转移即可。
然后你会发现一个很神奇的东西：要求出 \(x\) 和 \(sta\) 的变化量根本不需要 \(j\)，只需要 \(x\) 和 \(sta\)！
所以 \(turn\) 的第一维 \(j\) 可以直接去掉。
所以才叫预处理 \(\sout{turn}\)。
注意 \(match\) 也是可以预处理的，然后此时预处理的时间是 \(O(k^22^{2k}2^{2k+1}+26nk)=O(k^22^{4k+1}+26nk)\)，可以接受。
转移的时间优化到了 \(O(26nk2^{2k})\)。
其实已经能跑过了，但有点卡。
所以可以进一步的优化：
你发现对于枚举的 \(c\)，只要 \(c\) 不在 \(S[j-k+1],S[j-k+2],\cdots,S[j+k+1]\) 内出现过，\(match\) 就等于 \(0\)，也就是说它们都相等，此时得到的 \(x'\) 和 \(sta'\) 都是相同的。
所以说，假设 \(S[j-k+1],S[j-k+2],\cdots,S[j+k+1]\) 中有 \(num\) 种字符，那么我们一次算出 \(match=0\) 时的 \(x'\) 和 \(sta'\)，然后转移 \(dp[j+1][x'][sta']\gets dp[j+1][x'][sta']+(26-num)dp[j][x][sta]\) 即可。
易知 \(num\leq 2k+2\leq 9\)，所以这部分我们枚举 \(c\) 用 \(turn\) 数组转移即可。
转移的时间复杂度降低到了约 \(O(10nk2^{2k})\)。
然后能 1s AC 了。（时限 2s）
#include<bits/stdc++.h>
#define K 5
#define N 30010
#define mod 998244353
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')
{
if(ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
ch=getchar();
}
return x*f;
}
namespace modular
{
inline int add(int x,int y){if((x+=y)>=mod)x-=mod; return x;}
inline int dec(int x,int y){if((x-=y)<0)x+=mod; return x;}
inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
}
using namespace modular;
struct data
{
int x,sta;
}turn[K][260][520];
int n,k,s[N];
int match[N][26];
int dp[N][K][260];
int f[K<<1],g[K<<1];
char ss[N];
bool vis[30];
int main(){
scanf("%s%d",ss+1,&k);
n=strlen(ss+1);
for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=ss[i]-'A';
int pow2k=(1<<(k<<1)),pow2k1=pow2k<<1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int c=0;c<26;c++)
{
int sta=0;
for(int l=i+k;l>=i-k;l--)
{
if(l<1||l>n) sta<<=1;
else sta=sta<<1|(c==s[l]);
}
match[i][c]=sta;
}
}
for(int x=0;x<=k;x++)
{
for(int sta=0;sta<pow2k;sta++)
{
f[k]=x;
for(int i=k+1;i<=2*k;i++) f[i]=f[i-1]+((sta>>(i-1))&1);
for(int i=k-1;i>=0;i--) f[i]=f[i+1]-((sta>>i)&1);
for(int mat=0;mat<pow2k1;mat++)
{
for(int i=1;i<=2*k+1;i++)
{
if((mat>>(i-1))&1) g[i]=f[i-1]+1;
else g[i]=max(g[i-1],f[i]);
}
turn[x][sta][mat].x=g[k+1]-1;
int nsta=0;
for(int i=2*k;i>=1;i--) nsta=nsta<<1|(g[i+1]-g[i]);
turn[x][sta][mat].sta=nsta;
}
}
}
dp[0][k][0]=1;
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int x=0;x<=k;x++)
{
for(int sta=0;sta<pow2k;sta++)
{
if(!dp[i][x][sta]) continue;
int num=0;
for(int j=max(1,i+1-k);j<=min(n,i+1+k);j++)
{
if(!vis[s[j]]) num++;
vis[s[j]]=1;
}
int nx=turn[x][sta][0].x,nsta=turn[x][sta][0].sta;
if(nx>=0) dp[i+1][nx][nsta]=add(dp[i+1][nx][nsta],mul(26-num,dp[i][x][sta]));
for(int j=max(1,i+1-k);j<=min(n,i+1+k);j++)
{
if(!vis[s[j]]) continue;
vis[s[j]]=0;
nx=turn[x][sta][match[i+1][s[j]]].x,nsta=turn[x][sta][match[i+1][s[j]]].sta;
if(nx>=0) dp[i+1][nx][nsta]=add(dp[i+1][nx][nsta],dp[i][x][sta]);
}
}
}
}
int ans=0;
for(int x=0;x<=k;x++)
for(int sta=0;sta<pow2k;sta++)
ans=add(ans,dp[n][x][sta]);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
/*
GUGUA
1
*/
