【XSY3588】B（图论，欧拉回路）

题意：给一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的简单连通无向图，保证 \(m\) 为偶数。可知度数为奇数的点共有偶数个，你需要将它们两两分组，对于每一组点 \(u,v\)，你要找到一条包含偶数条边的 \(u\) 和 \(v\) 之间的不重边路径，同时你要保证一条边至多在一条路径中出现。请求出任意一组构造方案。

\(n,m\leq 10^6\)。

题解：

为了保证路径长度是偶数，我们考虑这么一种做法：

1. 将原图 \(G\) 中的边两两匹配，满足匹配的两条边恰有一个公共端点，且一条边恰在一个匹配中。

   匹配的方案可以用 dfs 树从下往上递推得到：从下往上枚举每个点，优先将非父亲边的还未匹配的出边两两匹配，若还剩一条边不能匹配，则与父亲边匹配即可。由于 \(m\) 为偶数，所以最后一定有解。

   我们建立一个新图 \(G'\)：对于一组匹配 \((u,v),(v,w)\)，我们在新图中连边 \((u,w)\)。

   发现任意一个点 \(u\) 在 \(G\) 中的度数奇偶性和 \(u\) 在 \(G'\) 中的度数奇偶性相同。

2. 我们补全 \(G'\)：新建一个虚点向所有 \(G'\) 中度数为奇数的点连边，使得 \(G'\) 存在欧拉回路。

   然后直接跑欧拉回路，每一轮进出虚点即对应着 \(G'\) 中一条从奇点到奇点的路径，即 \(G\) 中一条从奇点到奇点且长度为偶数的路径。

时间复杂度 \(O(n+m)\)。

#include<bits/stdc++.h>

#define N 250010
#define fi first
#define se second
#define pii pair<int,int>
#define mk(a,b) make_pair(a,b)

using namespace std;

inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}

int n,m;

namespace G2
{
	bool deg[N],vise[(N*3)>>1];
	int cnt=1,head[N],nxt[N*3],to[N*3];
	pii eid[N*3];
	vector<int> path;
	void adde(int u,int v,pii e)
	{
		deg[u]^=1;
		to[++cnt]=v;
		eid[cnt]=e;
		nxt[cnt]=head[u];
		head[u]=cnt;
	}
	void euler(int u)
	{
		for(int &i=head[u];i;i=nxt[i])
		{
			if(vise[i>>1]) continue;
			vise[i>>1]=1;
			path.push_back(i);
			euler(to[i]);
		}
	}
	void main()
	{
		int tot=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			if(deg[i]) adde(i,n+1,mk(114,514)),adde(n+1,i,mk(1919,810)),tot++;
		euler(n+1);
		tot>>=1;
		int ed=-1;
		while(tot--)
		{
			int st=++ed;
			while(to[path[ed]]!=n+1) ed++,assert(ed<(int)path.size());
			printf("%d %d %d\n",to[path[st]],to[path[ed-1]],(ed-1-st)<<1);
			for(int i=st+1;i<ed;i++)
				printf("%d %d ",eid[path[i]].fi,eid[path[i]].se);
			puts("");
		}
	}
}

namespace G1
{
	int cnt=1,head[N],nxt[N<<1],to[N<<1];
	bool vis[N],match[N];
	void adde(int u,int v)
	{
		to[++cnt]=v;
		nxt[cnt]=head[u];
		head[u]=cnt;
	}
	void dfs(int u,int from)
	{
		vis[u]=1;
		int lstp=0,lste;
		for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
		{
			if(!(i^from^1)) continue;
			int v=to[i];
			if(!vis[v]) dfs(v,i);
			if(!match[i>>1])
			{
				if(!lstp) lstp=v,lste=i>>1;
				else
				{
					match[lste]=match[i>>1]=1;
					G2::adde(lstp,v,mk(lste,i>>1));
					G2::adde(v,lstp,mk(i>>1,lste));
					lstp=0;
				}
			}
		}
		if(lstp)
		{
			int fa=to[from^1];
			match[lste]=match[from>>1]=1;
			G2::adde(lstp,fa,mk(lste,from>>1));
			G2::adde(fa,lstp,mk(from>>1,lste));
		}
	}
	void main(){dfs(1,0);}
}

int main()
{
//	freopen("2asy30.in","r",stdin);
//	freopen("2asy30_my.out","w",stdout);
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u=read(),v=read();
		G1::adde(u,v),G1::adde(v,u);
	}
	G1::main();
	G2::main();
	return 0;
}