【XSY3513】Multiple of Nine（状压DP）

题意：转化后变为：给一张 \(n\) 个点的图，你需要给每个点染上 \([1,k]\) 中的某个颜色，图上有 \(m\) 条边，每条边 \((u,v)\) 有两种边权 \(w_1\)（当 \(u,v\) 颜色相同时）和 \(w_2\)（当 \(u,v\) 颜色不同时），求所有染色方案的图中边权积之和。

题解：

考虑一种颜色一种颜色地加入，使用状压即可做到 \(O(k\cdot 3^n)\)。

这样就可以过了，结果考场上没想出来（）大概是因为题目的边的给出方式太奇怪，导致我一直在推性质……

事实上有更优秀的 \(O(3^n)\) 的做法：仍然考虑状压，先不记录已经加入的颜色，考虑新加入一个颜色相同的点集时，给它在 \([1,k]\) 中随便赋一种颜色，但这可能会算重，容斥即可，可能需要手推一下容斥系数。

#include<bits/stdc++.h>

#define N 18
#define PN 150000

using namespace std;

namespace modular
{
	const int mod=1000000007;
	inline int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
	inline int dec(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
	inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
	inline void Add(int &x,int y){x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
	inline void Dec(int &x,int y){x=x-y<0?x-y+mod:x-y;}
	inline void Mul(int &x,int y){x=1ll*x*y%mod;}
}using namespace modular;

inline int poww(int a,int b)
{
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=mul(ans,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

const int inv9=poww(9,mod-2);

inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}

int nq,id[N<<1];
int n,q,ql[N],qr[N];
int nn,b[N<<1],fa[N<<1];
int coef[N<<1],upd[N<<1],trans[PN];
int f[11][PN];
bool vis[N];

int find(int x)
{
	return x==fa[x]?x:(fa[x]=find(fa[x]));
}

int calc(int len)
{
	return mul(inv9,dec(poww(10,len),1));
}

int main()
{
	n=read(),q=read();
	for(int i=1;i<=q;i++)
		ql[i]=read(),qr[i]=read(),b[++nn]=ql[i]-1,b[++nn]=qr[i];
//	b[++nn]=0;
	sort(b+1,b+nn+1);
	nn=unique(b+1,b+nn+1)-b-1;
//	assert(b[1]==0);
	for(int i=1;i<=nn;i++) fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=q;i++)
	{
		ql[i]=lower_bound(b+1,b+nn+1,ql[i]-1)-b;
		qr[i]=lower_bound(b+1,b+nn+1,qr[i])-b;
		int x=find(ql[i]),y=find(qr[i]);
		if(x!=y) fa[x]=y;
	}
	for(int i=1;i<=nn;i++)
		if(find(i)==i) id[i]=++nq;
	int prod=1;
	for(int i=1;i<nn;i++)
	{
		coef[i]=calc(b[i+1]-b[i]);
		upd[i]=mul(coef[i]+1,poww(coef[i],mod-2));
		Mul(prod,coef[i]);
	}
	int maxn=(1<<nq)-1;
	for(int S=0;S<=maxn;S++)
	{
		for(int i=1;i<=nq;i++)
			if((S>>(i-1))&1) vis[i]=1;
		trans[S]=1;
		for(int i=1;i<nn;i++)
			if(vis[id[find(i)]]&&vis[id[find(i+1)]])
				Mul(trans[S],upd[i]);
		for(int i=1;i<=nq;i++)
			if((S>>(i-1))&1) vis[i]=0;
	}
	f[0][0]=prod;
	for(int i=1;i<10;i++)
	{
		for(int S=0;S<=maxn;S++)
		{
			for(int lS=S;;lS=(lS-1)&S)
			{
				int nS=S^lS;
				Add(f[i][S],mul(trans[nS],f[i-1][lS]));
				if(!lS) break;
			}
		}
	}
	int suf=mul(f[9][maxn],poww(10,n-b[nn]));
	printf("%d\n",mul(poww(10,b[1]),mul(inv9,suf)));
	return 0;
}