【XSY3490】线段树（广义线段树，树上莫队）
题面
题解
本题分两 Part 走。
Part 1
我们需要解决： 如何在广义线段树上快速区间定位节点。
对于有 \(n\) 个叶子节点、共 \(2n-1\) 个节点的广义线段树 \(A\)，我们定义 \(maxr_l\) 表示 \(A\) 中所有以 \(l\) 为左端点的区间的右端点的最大值，\(minl_r\) 为 \(A\) 中所有以 \(r\) 为右端点的区间的左端点的最小值。然后再定义 \(L\) 树和 \(R\) 树，\(L\) 树中点 \(l\) 对应 \(A\) 树中的点 \([l,maxr_l]\)，\(l\) 的父亲为 \(maxr_l+1\)。\(R\) 树中 \(r\) 对应 \(A\) 树中的点 \([minl_r,r]\)，\(r\) 的父亲为 \(minl_r-1\)。
区间定位 \([l,r]\) 的时候，我们在 \(L\) 树上从 \(l\) 开始往上跳直到当前点 \(u\) 的 \(maxr_u\) 恰好大于 \(r\) 为止，\(R\) 树上从 \(r\) 开始往上跳直到当前点 \(u\) 的 \(minl_u\) 刚好小于 \(l\) 为止，这两段所对应 \(A\) 树的节点就是我们区间定位得到的节点。
考虑这样做为什么是对的，我们称 \(A\) 树上一个节点为 “右儿子节点” 当且仅当它是其父亲的右儿子，“左儿子节点” 的定义同理。假设在 \(A\) 树上区间定位 \([L,R]\) 所得到的的节点为 \(a_1,\cdots,a_m\)，那么肯定存在一个 \(k\)，使得 \(a_1,\cdots,a_k\) 都是右儿子节点，\(a_{k+1},\cdots,a_m\) 都是左儿子节点。
假设现在有一个 \(A\) 树上的节点，它的左端点 \(l\) 已知，而且已知它是右儿子节点，那么我们能确定这个点吗？当然能，因为以某个 \(l\) 为左端点的右儿子节点是唯一的，就是 \([l,maxr_l]\)。
再回到区间定位，我们已经知道了 \(a_1\) 的左端点一定是 \(L\)，那么若 \(a_1\) 是右儿子节点，\(a_1\) 是被唯一确定的，我们先找到它，设为 \(p\)。若它超出 \([L,R]\) 范围则 \(a_1\) 不可能是区间定位中的点，之后也不可能出现右儿子节点了，直接 break。否则，发现若 \(p\) 所对应的区间在 \([L,R]\) 内，则它一定是 \([L,R]\) 区间定位中的节点（即它一定是 \(a_1\)），因为其祖先所对应的区间一定会超出 \([L,R]\)。然后也就知道了 \(a_2\) 的左端点，于是递归处理，直到当前找到的节点超出 \([L,R]\) 范围为止。这样我们就能找到 \(a_1,\cdots,a_k\)。这个过程就是在 \(L\) 树上不断跳祖先的过程。
同样地，我们也能用类似的方法找到 \(a_{k+1},\cdots,a_m\)。这个过程就是在 \(R\) 树上不断跳祖先的过程。
至此，我们就把广义线段树上一段区间定位得到的节点转化为 \(L\) 树和 \(R\) 树上的两条祖先-后代链上对应的节点。
Part 2
现在是要求 \(L/R\) 树上一条链在 \(B\) 树中对应的点，到 \(L/R\) 树上一条链在 \(B\) 树中对应的点，的两两距离和。这里以 \(L\) 树到 \(R\) 树为例。
有一个单次询问复杂度关于点数成线性的虚树做法，但显然过不了。
做法是利用链的性质：差分之后转化为 \(L\) 树上一条到根的链和 \(R\) 树上一条到根的链在 \(B\) 树中对应的点的两两距离和，然后直接树上莫队。
树上莫队的具体做法是：两个指针分别在 \(L\) 树和 \(R\) 树的欧拉序上移动。当加入/删除一个点时，我们要求出它到另一棵树上一条到根的链在 \(B\) 树中对应的点的距离和，使用点分治即可。
时间复杂度 \(O(n\sqrt m\log n)\)。
#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define pii pair<int,int>
#define mk(a,b) make_pair(a,b)
#define INF 0x7fffffff
#define ll long long
#define LN 14
#define N 10010
#define M 100010
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')
{
if(ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
ch=getchar();
}
return x*f;
}
int n,m;
namespace Btree
{
const int V=N<<1;
int nn;
int cnt,head[V],to[V<<1],nxt[V<<1];
int ns,maxn,rt,fa[V],size[V];
bool vis[V];
vector<int>Dis[V][2];
void adde(int u,int v)
{
to[++cnt]=v;
nxt[cnt]=head[u];
head[u]=cnt;
}
void getsize(int u,int fa)
{
size[u]=1;
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int v=to[i];
if(vis[v]||v==fa) continue;
getsize(v,u);
size[u]+=size[v];
}
}
void getroot(int u,int fa)
{
int nmax=0;
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int v=to[i];
if(vis[v]||v==fa) continue;
getroot(v,u);
nmax=max(nmax,size[v]);
}
nmax=max(nmax,ns-size[u]);
if(nmax<maxn) maxn=nmax,rt=u;
}
void getdis(int u,int fa,int dis,bool opt)
{
Dis[u][opt].push_back(dis);
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int v=to[i];
if(vis[v]||v==fa) continue;
getdis(v,u,dis+1,opt);
}
}
void solve(int u)
{
vis[u]=1;
getdis(u,0,0,0);
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int v=to[i];
if(vis[v]) continue;
getsize(v,0);
ns=size[v],maxn=INF,getroot(v,0);
getdis(v,0,1,1);
fa[rt]=u,solve(rt);
}
}
void init()
{
nn=(n<<1)-1;
for(int i=1;i<nn;i++)
{
int u=read(),v=read();
adde(u,v),adde(v,u);
}
getsize(1,0);
ns=size[1],maxn=INF,getroot(1,0);
solve(rt);
}
struct Dtree
{
int sdis[V][2],snum[V][2];
void insert(int u,int coef)
{
int now=u;
for(int i=(int)Dis[u][0].size()-1;i>=0;i--)
{
sdis[now][0]+=coef*Dis[u][0][i],snum[now][0]+=coef;
if(i) sdis[now][1]+=coef*Dis[u][1][i-1],snum[now][1]+=coef;
now=fa[now];
}
}
int query(int u)
{
int now=u,ans=0;
for(int i=(int)Dis[u][0].size()-1;i>=0;i--)
{
ans+=sdis[now][0]+snum[now][0]*Dis[u][0][i];
if(i) ans-=sdis[now][1]+snum[now][1]*Dis[u][1][i-1];
now=fa[now];
}
return ans;
}
}t1,t2;
}
namespace Atree
{
struct Tree
{
int rt;
int cnt,head[N],pid[N],nxt[N<<1],to[N<<1];
int fa[N][LN],d[N];
int idx,in[N],out[N];
pii p[N<<1];
void adde(int u,int v,int pp)
{
pid[v]=pp;
to[++cnt]=v;
nxt[cnt]=head[u];
head[u]=cnt;
}
void dfs(int u)
{
if(u!=rt) p[in[u]=++idx]=mk(pid[u],1);
for(int i=1;i<=13&&fa[u][i-1]!=-1;i++)
fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int v=to[i];
fa[v][0]=u,d[v]=d[u]+1;
dfs(v);
}
if(u!=rt) p[out[u]=++idx]=mk(pid[u],-1);
}
void init()
{
memset(fa,-1,sizeof(fa));
d[rt]=1,dfs(rt);
}
}L,R;
int node;
pii maxr[N],minl[N];
void dfs(int l,int r)
{
int u=++node;
if(l!=r)
{
int mid=read();
dfs(l,mid),dfs(mid+1,r);
}
maxr[l]=mk(r,u),minl[r]=mk(l,u);
}
void init()
{
dfs(1,n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
L.adde(maxr[i].fi+1,i,maxr[i].se);
R.adde(minl[i].fi-1,i,minl[i].se);
}
L.rt=n+1,R.rt=0,L.init(),R.init();
}
void find(int l,int r,pii &Lp,pii &Rp)
{
if(maxr[l].fi>r) Lp=mk(1,0);
else
{
int a=l;
for(int i=13;i>=0;i--)
if(L.fa[a][i]!=-1&&L.fa[a][i]!=L.rt&&maxr[L.fa[a][i]].fi<=r)
a=L.fa[a][i];
Lp=mk(L.in[a],L.in[l]);
}
if(minl[r].fi<l||(l==1&&r==n)) Rp=mk(1,0);
else
{
int a=r;
for(int i=13;i>=0;i--)
if(R.fa[a][i]!=-1&&R.fa[a][i]!=R.rt&&minl[R.fa[a][i]].fi>=l)
a=R.fa[a][i];
Rp=mk(R.in[a],R.in[r]);
}
}
}
namespace Solve
{
using Btree::Dtree;using Btree::t1;using Btree::t2;
ll sum,ans[M];
int len,block[N<<1];
struct data
{
int p1,p2,id,coef;
data(){};
data(int _p1,int _p2,int _id,int _opt){p1=_p1,p2=_p2,id=_id,coef=_opt;}
};
vector<data>qll,qlr,qrr;
void insq(vector<data> &q,pii p1,pii p2,int id)
{
q.push_back(data(p1.se,p2.se,id,1));
q.push_back(data(p1.se,p2.fi-1,id,-1));
q.push_back(data(p1.fi-1,p2.se,id,-1));
q.push_back(data(p1.fi-1,p2.fi-1,id,1));
}
void upd(int u,Dtree &t1,Dtree &t2,int coef)
{
sum+=coef*t2.query(u);
t1.insert(u,coef);
}
void solve(vector<data> &q,pii *id1,pii *id2)
{
sort(q.begin(),q.end(),[&](data a,data b)
{
if(block[a.p1]!=block[b.p1]) return block[a.p1]<block[b.p1];
return a.p2<b.p2;
});
int tmp1=0,tmp2=0;
for(data now:q)
{
while(tmp1<now.p1) ++tmp1,upd(id1[tmp1].fi,t1,t2,id1[tmp1].se);
while(tmp1>now.p1) upd(id1[tmp1].fi,t1,t2,-id1[tmp1].se),tmp1--;
while(tmp2<now.p2) ++tmp2,upd(id2[tmp2].fi,t2,t1,id2[tmp2].se);
while(tmp2>now.p2) upd(id2[tmp2].fi,t2,t1,-id2[tmp2].se),tmp2--;
ans[now.id]+=now.coef*sum;
}
while(tmp1) upd(id1[tmp1].fi,t1,t2,-id1[tmp1].se),tmp1--;
while(tmp2) upd(id2[tmp2].fi,t2,t1,-id2[tmp2].se),tmp2--;
}
void main()
{
len=125;
for(int i=1,t=n<<1;i<=t;i++)
block[i]=(i-1)/len+1;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int a=read(),b=read(),c=read(),d=read();
pii al,ar,bl,br;
Atree::find(a,b,al,ar);
Atree::find(c,d,bl,br);
insq(qll,al,bl,i),insq(qlr,al,br,i),insq(qlr,bl,ar,i),insq(qrr,ar,br,i);
}
solve(qll,Atree::L.p,Atree::L.p);
solve(qlr,Atree::L.p,Atree::R.p);
solve(qrr,Atree::R.p,Atree::R.p);
for(int i=1;i<=m;i++)
printf("%lld\n",ans[i]);
}
}
int main()
{
// freopen("ex_segment3.in","r",stdin);
// freopen("ex_segment3_my.out","w",stdout);
n=read(),m=read();
Atree::init();
Btree::init();
Solve::main();
return 0;
}
