【XSY3479】子区间（扫描线）
题意：转化后变为：平面上给定 \(n\) 个关键点，\(q\) 次询问一个点与其左上的每个关键点形成的矩形面积的最大值。
题解：
挺玄妙的一题。
这里假设这 \(n\) 个关键点都是 \(x\) 单调不降且 \(y\) 单调不降的（因为若点 \(A\) 在点 \(B\) 左上方则点 \(B\) 肯定无用），注意这是个壳，但不一定是凸的。
由于不一定是凸的，你发现它们与询问点之间的矩形面积不是单峰的，所以不能直接二分。
先考虑只有两个关键点的情况，考虑两个关键点各自的控制范围，解出来边界是一条经过两点连线中点，且与两点连线对称的直线，称其为这两个关键点的划分直线。两个关键点分居平面上被这条直线所划分出来的两个区域，询问点与和它在同一个区域的关键点所形成的矩形面积更大（虽然有点反直觉），即一个关键点控制了它所在区域的所有询问点。
现在有多个关键点时，将所有关键点按 \(x\) 坐标排序，考虑每相邻两个关键点所形成的划分直线，如果这些直线不交，此时关键点们与询问点之间的矩形面积就是单峰的，可以直接二分。
发现若两条相邻直线相交（注意最先相交的一定是某两条相邻的直线），假设它们分别是 \(A,B\) 和 \(B,C\) 的划分直线，那么对于横坐标比交点大的询问点，点 \(B\) 对于它都是没有贡献的，即点 \(B\) 的控制范围不会在交点之后，可以参照下图理解：
也就是说在交点坐标之后，我们就可以把点 \(B\) 删掉了。
那么考虑扫描线，把所有点按 \(x\) 坐标从小到大排序，动态维护当前扫描线 \(x=X\) 上的控制区域划分，遇到划分直线的交点时就更新控制区域。
如图，每个点的控制区域已经被我们用颜色标明（无敌的 mathematica！），假设当前扫描线在 \(x=X\)，那么我们就要维护图中的三条蓝色直线，然后遇到询问时直接二分询问点被夹在哪两条直线之间、遇到交点时我们更新这些蓝色直线即可。
时间复杂度 \(O((n+q)\log n)\)。
原题需要对时间分治，时间复杂度为 \(O(q\log ^2q)\)。
#include<bits/stdc++.h>
#define db double
#define N 400010
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')
{
if(ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
ch=getchar();
}
return x*f;
}
struct Point
{
db x,y;
Point(){};
Point(db _x,db _y){x=_x,y=_y;}
}S[N],Q[N];
Point operator - (Point a,Point b){return Point(a.x-b.x,a.y-b.y);}
struct Line
{
db k,b;
Line(){};
Line(db _k,db _b){k=_k,b=_b;}
Line(Point p1,Point p2)
{
k=(p1.y-p2.y)/(p1.x-p2.x);
b=p1.y-k*p1.x;
}
db gety(db x){return k*x+b;}
};
Point intersection(Line l1,Line l2)
{
db x=(l1.b-l2.b)/(l2.k-l1.k);
db y=l1.k*x+l1.b;
return Point(x,y);
}
int m,np,nq;
ll ans[N];
namespace Solve
{
db X;
struct data
{
Point p;
int id;
data(){};
data(Point a,int b){p=a,id=b;}
}p[N<<1];
int cnt;
void getp(vector<int> &pid)
{
sort(pid.begin(),pid.end(),[&](int a,int b)
{
if(S[a].x==S[b].x) return S[a].y>S[b].y;
return S[a].x<S[b].x;
});
int top=-1;
for(auto i:pid)
{
if(top!=-1&&S[i].y<=S[top].y) continue;
p[++cnt]=data(S[i],-i),top=i;
}
}
int pre[N<<1],nxt[N<<1],tail;
Line getLine(int a,int b){return Line(Point(p[a].p.x,p[b].p.y),Point(p[b].p.x,p[a].p.y));}
struct Div
{
Line l;
int id;
Div(){};
Div(Line _l,int _id){l=_l,id=_id;}
};
struct cmp
{
bool operator () (Div a,Div b) const
{
return a.l.gety(X)<b.l.gety(X);
}
};
set<Div,cmp>s;
struct Inter
{
db x;
int mid;
Inter(){};
Inter(db a,int b){x=a,mid=b;}
};
bool operator < (Inter a,Inter b)
{
if(a.x==b.x) return a.mid<b.mid;
return a.x<b.x;
}
set<Inter>heap;
void update(int a,int b,int c,int opt)
{
if(Line(p[b].p,p[c].p).k<=Line(p[a].p,p[b].p).k) return;
Line l1=getLine(a,b),l2=getLine(b,c);
db inter=intersection(l1,l2).x;
if(opt==1) heap.insert(Inter(inter,b));
else heap.erase(Inter(inter,b));
}
void check(db nx)
{
while(!heap.empty()&&(*heap.begin()).x<=nx)
{
Inter now=(*heap.begin());
int b=now.mid,a=pre[b],c=nxt[b];
if(pre[a]) update(pre[a],a,b,-1);
update(a,b,c,-1);
if(nxt[c]) update(b,c,nxt[c],-1);
pre[c]=a,nxt[a]=c;
if(pre[a]) update(pre[a],a,c,1);
if(nxt[c]) update(a,c,nxt[c],1);
s.erase(Div(getLine(a,b),a)),s.erase(Div(getLine(b,c),b));
s.insert(Div(getLine(a,c),a));
}
}
void push(int id)
{
if(tail)
{
pre[id]=tail,nxt[tail]=id;
if(pre[tail]) update(pre[tail],tail,id,1);
s.insert(Div(getLine(tail,id),tail));
}
tail=id;
}
int qid;
ll getS(int id,int x,int y)
{
if(!id) return -1;
int xx=(int)p[id].p.x,yy=(int)p[id].p.y;
if(yy-y<0) return -1;
return 1ll*(x-xx)*(yy-y);
}
ll query(db Y)
{
int x=(int)X,y=(int)Y;
auto it=s.lower_bound(Div(Line(0,Y),114514));
if(it==s.end()) return getS(tail,x,y);
return getS((*it).id,x,y);
}
void work(int ql,int qr,vector<int> &pid)
{
cnt=0;
for(int i=ql;i<=qr;i++) p[++cnt]=data(Q[i],i);
getp(pid);
sort(p+1,p+cnt+1,[](data a,data b)
{
if(a.p.x==b.p.x) return a.id<0;
return a.p.x<b.p.x;
});
tail=0;
for(int i=1;i<=cnt;i++) pre[i]=nxt[i]=0;
s.clear(),heap.clear();
X=0;
for(int i=1;i<=cnt;i++)
{
check(p[i].p.x);
X=p[i].p.x;
if(p[i].id<0) push(i);
else qid=p[i].id,ans[p[i].id]=max(ans[p[i].id],query(p[i].p.y));
}
}
}
namespace Seg
{
vector<int>pid[N<<2];
void update(int k,int l,int r,int ql,int qr,int x)
{
if(ql<=l&&r<=qr)
{
pid[k].push_back(x);
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(ql<=mid) update(k<<1,l,mid,ql,qr,x);
if(qr>mid) update(k<<1|1,mid+1,r,ql,qr,x);
}
void solve(int k,int l,int r)
{
Solve::work(l,r,pid[k]);
if(l==r)
{
printf("%lld\n",ans[l]);
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
solve(k<<1,l,mid);
solve(k<<1|1,mid+1,r);
}
}
int main()
{
static int st[N],ed[N];
// freopen("range3.in","r",stdin);
// freopen("range3_my.out","w",stdout);
memset(ed,-1,sizeof(ed));
m=read();
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int opt=read();
if(opt==1)
{
int l=read(),r=read();
S[++np]=Point(l,r),st[np]=nq+1;
}
if(opt==2) ed[read()]=nq;
if(opt==3)
{
int l=read(),r=read();
Q[++nq]=Point(l,r);
}
}
for(int i=1;i<=np;i++)
{
if(ed[i]==-1) ed[i]=nq;
if(st[i]<=ed[i]) Seg::update(1,1,nq,st[i],ed[i],i);
}
memset(ans,-1,sizeof(ans));
Seg::solve(1,1,nq);
return 0;
}
