【XSY2815】净空（贪心，线段树）

题目要求我们分解为 \(x=\prod_{i=1}^m(c_i!)^{t_i}\cdot p\)，那么显然 \(c_i\) 不可能大于等于 \(10^5+3\)（为质数），否则 \(c_i!\) 就会包括这个质数，而 \(x\) 不可能包含这个质因子。

那么肯定是枚举 \(N\) 从 \(10^5+2\) 到 \(2\)，过程中不断贪心地试除 \(N!\)。

先对 \(x=\prod_{i=1}^n a_i!\) 分解质因数，得到 \(x=\prod_{i}p_i^{b_i}\)。

假设当前 \(N=\prod_ip_i^{d_i}\)，那么能除掉 \(N!\) 的次数为 \(t=\min\limits_i\left(\lfloor\frac{b_i}{d_i}\rfloor\right)\)，然后需要将全体的 \(b_i\) 减去 \(t\cdot d_i\)。

从 \(N\) 变到 \(N-1\) 时，发现只有 \(\omega(N)\) 个 \(d_i\) 有变化，而 \(\sum \omega(i)=n\log \log n\)。

于是可以考虑用线段树维护 \(\min\limits_i\left(\lfloor\frac{b_i}{d_i}\rfloor\right)\)，对于全局减 \(t\cdot d_i\) 也可以用懒标记维护。

每次对于 \(d_i\) 有变化的位置单点重构 \(d_i\) 即可。

时间复杂度 \(O(n\log n\log \log n)\)。

#include<bits/stdc++.h>

#define N 100010
#define fi first
#define se second
#define mk(a,b) make_pair(a,b)
#define ll long long
#define LNF 0x7fffffffffffffff

using namespace std;

inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}

const int maxn=100002;

int n;
int cnt,prime[N],minp[N],minq[N],minpq[N];
bool notprime[N];
ll buc[N],b[N],d[N];
ll minQ[N<<2],lazy[N<<2];
ll R[N];

void init()
{
	for(int i=2;i<=maxn;i++)
	{
		if(!notprime[i])
		{
			prime[++cnt]=i;
			minp[i]=cnt,minq[i]=1,minpq[i]=i;
		}
		for(int j=1,v;j<=cnt&&(v=i*prime[j])<=maxn;j++)
		{
			notprime[v]=1;
			minp[v]=j;
			if(!(i%prime[j]))
			{
				minq[v]=minq[i]+1;
				minpq[v]=minpq[i]*prime[minp[i]];
				break;
			}
			minq[v]=1,minpq[v]=prime[j];
		}
	}
}

void calc(ll *b)
{
	for(int i=maxn;i>=2;i--)
	{
		b[minp[i]]+=buc[i]*minq[i];
		buc[i/minpq[i]]+=buc[i];
	}
}

void up(int k)
{
	minQ[k]=min(minQ[k<<1],minQ[k<<1|1]);
}

void build(int k,int l,int r)
{
	if(l==r)
	{
		minQ[k]=b[l]/d[l];
		R[l]=b[l]%d[l];
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(k<<1,l,mid);
	build(k<<1|1,mid+1,r);
	up(k);
}

void downn(int k,ll v)
{
	minQ[k]-=v,lazy[k]+=v;
}

void down(int k)
{
	if(lazy[k])
	{
		downn(k<<1,lazy[k]);
		downn(k<<1|1,lazy[k]);
		lazy[k]=0;
	}
}

void update(int k,int l,int r,int x,int y)
{
	if(l==r)
	{
		ll nb=minQ[k]*d[l]+R[l];
		d[l]-=y;
		if(d[l])
		{
			minQ[k]=nb/d[l];
			R[l]=nb%d[l];
		}
		else
		{
			minQ[k]=LNF;
			R[l]=nb;
		}
		return;
	}
	down(k);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid) update(k<<1,l,mid,x,y);
	else update(k<<1|1,mid+1,r,x,y);
	up(k);
}

int main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) buc[read()]++;
	for(int i=maxn;i>=2;i--) buc[i]+=buc[i+1];
	init();
	calc(b);
	memset(buc,0,sizeof(buc));
	for(int i=1;i<=maxn;i++) buc[i]=1;
	calc(d);
	vector<pair<int,ll> >vec;
	build(1,1,cnt);
	for(int i=maxn;i>=2;i--)
	{
		ll t=minQ[1];
		if(t)
		{
			vec.push_back(mk(i,t));
			downn(1,t);
		}
		int x=i;
		while(x>1)
		{
			update(1,1,cnt,minp[x],minq[x]);
			x/=minpq[x];
		}
	}
	printf("%d\n",(int)vec.size());
	for(auto now:vec)
		printf("%d %lld\n",now.fi,now.se);
	return 0;
}
/*
3
7 9 13
*/