【XSY2515】管道（pipe）（最小生成树+倍增lca）
题面
Description
给你一个城市下水道网络图，你需要选出一些管道，使得在只使用这些管道的情况下，令整个网络联通，并且花费最小。
网络图可以看做是无向连通图，有\(n\)个节点和\(m\)条边，每条边连接\(u_i\)和\(v_i\)，选择的花费是\(w_i\)。
不巧的是，由于某些原因，现在市政局要求选定某条特定的边管道，你的任务是求出对于某一条边，在选择这条管道的前提下的最小花费。
Input
第\(1\)行包含两个整数\(n\)，\(m\)，表示点数和边数。
第\(2\)~\(m+1\)行每行三个整数\(u_i\)，\(v_i\)，\(w_i\)，表示有一条管道连接\(u_i\)和\(v_i\)，费用为\(w_i\)。
Output
输出m行，每行一个整数，表示选择第i条管道的前提下的最小花费。
管道按输入的顺序编号为\(1\)~\(m\)。
Sample Input
5 7
1 2 3
1 3 1
1 4 5
2 3 2
2 5 3
3 4 2
4 5 4
Sample Output
9
8
11
8
8
8
9
Hint
对于\(20\%\)的数据，\(n<=1000\)，\(m<=2000\)
对于另外\(20\%\)的数据，\(m<=n+10\)
对于\(100\%\)的数据，\(2<=u_i,v_i<=n<=100000\)，\(1<=m<=200000\)，\(w_i<=2^{31}\)
保证初始图连通。
题解
题目就是求包含某条边的最小生成树。
先把原图的最小生成树求出来。
枚举图上的每一条边，考虑选择这条管道的前提下的最小花费：
-
如果这条边就在最小生成树上，显然，最小花费就是最小生成树的边权和。
-
如果这条边不在最小生成树上，如下图中的边\((5,6)\)：
显然如果我们加入了边\((5,6)\)，就会构成一个环，这个环的一部分就是\((5,6)\)，另一部分是在树上的\(5\)到\(6\)的路径，即\(5\longrightarrow3\longrightarrow4\longrightarrow6\)。
这样如果我们去掉环上的任意一条边，所有点还是联通的，且边权和比没去时更小。
又因为我们不能去掉边\((5,6)\)，所以我们只能去掉原图的最小生成树上的\(5\)到\(6\)的路径的任意一边。
且为了保证去掉这条边后边权和最小，我们要去掉这条路径上边权最大的边。
这样两种情况都讨论完了，至于第二种情况的路径上边权最大值怎么维护，可以用树剖或者倍增。
代码如下:
#include<bits/stdc++.h>
#define N 1000010
#define M 2000010
#define int long long
#define ll long long
using namespace std;
struct edge
{
int u,v,w,id;
}e[M];
int n,m,fa[N];
int f[N][20],maxn[N][20],d[N];
int cnt,head[N],nxt[N<<1],to[N<<1],w[N<<1];
ll ans,Ans[N];
bool flag[N];
inline int read()
{
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')
{
if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^'0');
ch=getchar();
}
return x*f;
}
int find(int x)
{
if(x==fa[x])return x;
return fa[x]=find(fa[x]);
}
inline bool cmp(edge a,edge b)
{
return a.w<b.w;
}
inline void adde(int u,int v,int wi)
{
to[++cnt]=v;
w[cnt]=wi;
nxt[cnt]=head[u];
head[u]=cnt;
}
void dfs(int u)
{
for(int i=1;i<=18;i++)//倍增数组
{
f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
maxn[u][i]=max(maxn[u][i-1],maxn[f[u][i-1]][i-1]);
}
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
if(to[i]!=f[u][0])
{
f[to[i]][0]=u;
maxn[to[i]][0]=w[i];
d[to[i]]=d[u]+1;
dfs(to[i]);
}
}
}
inline int LCA(int a,int b)//a->lca->b
{
int maxx=0;
if(d[a]<d[b])
swap(a,b);
for(int i=18;i>=0;i--)
if(d[f[a][i]]>=d[b])
maxx=max(maxx,maxn[a][i]),a=f[a][i];
if(a==b)
return maxx;
for(int i=18;i>=0;i--)
{
if(f[a][i]!=f[b][i])
{
maxx=max(maxx,max(maxn[a][i],maxn[b][i]));
a=f[a][i],b=f[b][i];
}
}
maxx=max(maxx,max(maxn[a][0],maxn[b][0]));
return maxx;
}
signed main()
{
n=read(),m=read();
for(register int i=1;i<=n;i++)
fa[i]=i;
for(register int i=1;i<=m;i++)
{
e[i].u=read(),e[i].v=read(),e[i].w=read();
e[i].id=i;
}
sort(e+1,e+m+1,cmp);
for(register int i=1,num=0;i<=m;i++)//最小生成树
{
if(num==n-1)
break;
int a=find(e[i].u),b=find(e[i].v);
if(a!=b)
{
fa[a]=b;
adde(e[i].u,e[i].v,e[i].w);
adde(e[i].v,e[i].u,e[i].w);
ans+=e[i].w;
flag[i]=true;
num++;
}
}
d[1]=1;
dfs(1);
for(register int i=1;i<=m;i++)
{
if(flag[i])//这条边在最小生成树
{
Ans[e[i].id]=ans;
continue;
}
int maxx=LCA(e[i].u,e[i].v);//不在就求u、v路径上的边权最大值
Ans[e[i].id]=ans-maxx+e[i].w;
}
for(register int i=1;i<=m;i++)
printf("%lld\n",Ans[i]);
return 0;
}
另，相似题：XSY2485，以及题解。
