【USACO10JAN】Cheese Towers S 奶酪塔 （背包dp）

一种思路奇特的做法。

看到题目容易联想到背包dp，因为看上去很像。

但是我们并不知道上面有没有大奶酪。

所以我们不妨倒过来看，从上往下加奶酪。

设 \(dp(i,1/0)\) 表示当前从上往下的累加高度为 \(i\)，这之中有/无大奶酪。

显然，当我们考虑新加一个奶酪时，有：

\[\begin{cases} dp(i,0)=\max(dp(i-h_j,0)+v_j)\ \ (h_j<K)\\ dp(i,1)=\max(dp(i-h_j,0)+v_j)\ \ (h_j\geq K) \end{cases}\]

然后对于 \(dp(i,1)\)，还有：

\[dp(i,1)=\max(dp(i-\frac{4}{5}h_j,1)+v_j) \]

总的时间复杂度 \(O(nt)\)，听说 \(O(n^2t)\) 也能过……

#include<bits/stdc++.h>

#define N 110
#define T 1010

using namespace std;

int n,t,k,ans;
int v[N],h[N];
int dp[T][2];

int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&t,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d%d",&v[i],&h[i]);
	memset(dp,128,sizeof(dp));
	dp[0][0]=0;
	for(int i=0;i<=t;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			if(i-h[j]>=0)
			{
				if(h[j]<k) dp[i][0]=max(dp[i][0],dp[i-h[j]][0]+v[j]);
				else dp[i][1]=max(dp[i][1],dp[i-h[j]][0]+v[j]);
			}
		}
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if(i-h[j]*4/5>=0)
				dp[i][1]=max(dp[i][1],dp[i-h[j]*4/5][1]+v[j]);
		ans=max(ans,max(dp[i][0],dp[i][1]));
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}