【THUWC2020】Day2T2（dfs树，DP，线段树合并）

对于每一个点 $u$，我们先找到满足右述条件的深度最小的 $u$ 祖先 $f$ 并记这个深度最小的祖先的深度为 $dp(u)$：$f$ 能只通过除了树上 $[f,u]$ 路径所包含的边之外的边到达 $u$。

那么显然，一次询问 $[a,b]$ 中，对于 $b$ 的子树中的一点 $u$，$1$ 号点能到达 $u$ 当且仅当 $\min\limits_{v\in[b,u]} dp(v)\leq dep(a)$。

我们先看如何把 $dp(u)$ 给求出来。

我们枚举满足条件的深度最小的祖先 $f$ 最后一步是通过哪一个点到达 $u$ 的，也就是枚举所有指向 $u$ 的且的非树边，设这条边为 $(v,u)$：

• 若 $(v,u)$ 为后向边，那么 $v$ 为 $u$ 的祖先，那么 $v$ 的上一步仍不能是树边，于是更新：$dp(u)\gets\min(dp(u),dp(v))$。

• 若 $(v,u)$ 为横叉边，设 $v,u$ 的最近公共祖先为 $lca$：

  

  我们考虑枚举 $v$ 的上一步是沿树边从哪里走到了 $v$：对于树上 $[lca,v]$ 路径上的任意一点 $w$，我们都可以更新：$dp(u)\gets \min(dp(u),dp(w))$。

  这样更新是正确的，因为 $dp(w)$ 要求不经过树上 $[f,w]$ 路径上的边，那么也就不经过树上 $[f,lca]$ 路径上的边，同时由于这是一棵 dfs 树，既然存在了边 $(v,u)$，也就不存在 $(lca,u]$ 中某一点指向 $(lca,v]$ 中某一点的边，所以这条从 $f$ 到达 $w$ 的路径也不会经过 $(lca,u]$。

  这样更新显然也是充分的，我们充分地枚举了 $v$ 的上一步沿树边走是从哪里走到 $v$。

于是我们考虑拓扑排序进行 DP，至于横叉边转移中的 $\min\limits_{w\in[lca,v]}dp(w)$ 如何求，我们用倍增即可，因为这里没有修改。我们只需要在拓扑排序中更新完 $dp(u)$ 时把 $u$ 往上的倍增数组求出来。

回到询问，现在的问题是多次询问 $[a,b]$，询问 $b$ 的子树中有多少个点 $v$ 满足 $\min\limits_{v\in[b,u]} dp(v)\leq dep(a)$。

考虑离线，并对 $b$ 跑线段树合并：

我们在原树上 dfs，并对于每一个当前点 $b$ 维护这么一棵线段树：下标为 $i$ 的叶子节点中存储着 $\min\limits_{v\in[b,u]} dp(v)=i$ 的 $u$ 的个数，也就是 $\min\limits_{v\in[b,u]} dp(v)$ 的值域线段树。

然后回溯时合并儿子的线段树再用当前点的 $dp$ 值更新即可。

碰到询问时直接查询 $\min\limits_{v\in[b,u]} dp(v)\leq dep(a)$ 的 $u$ 的个数即可。

#include<bits/stdc++.h>

#define LN 17
#define N 100010
#define INF 0x7fffffff
#define lc(u) ch[u][0]
#define rc(u) ch[u][1]

using namespace std;

inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}

struct Query
{
	int a,id;
	Query(){};
	Query(int x,int y){a=x,id=y;}
};

int n,m,q;
int du[N];
int cnt,head[N],nxt[N],to[N];
int fa[N][LN],d[N],size[N];
int dp[N],minn[N][LN];
int node,rt[N],ch[N*LN][2],sum[N*LN];
int ans[N];

vector<int>e[N];
vector<Query>p[N];

void adde(int u,int v)
{
	to[++cnt]=v;
	nxt[cnt]=head[u];
	head[u]=cnt;
}

void dfs(int u)
{
	size[u]=1;
	for(int i=1;i<=16;i++)
		fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
	for(int v:e[u])
	{
		if(fa[v][0]) continue;
		fa[v][0]=u;
		d[v]=d[u]+1;
		adde(u,v);
		dfs(v);
		size[u]+=size[v];
	}
}

int calc(int a,int b)
{
	bool flag=0;
	if(d[a]<d[b]) swap(a,b),flag=1;
	int ans=INF;
	for(int i=16;i>=0;i--)
	{
		if(d[fa[a][i]]>=d[b])
		{
			if(!flag) ans=min(ans,minn[a][i]);
			a=fa[a][i];
		}
	}
	if(a==b) return min(ans,minn[a][0]);
	if(flag) swap(a,b);
	for(int i=16;i>=0;i--)
	{
		if(fa[a][i]!=fa[b][i])
		{
			ans=min(ans,minn[a][i]);
			a=fa[a][i],b=fa[b][i];
		}
	}
	return min(ans,minn[a][1]);
}

void DP()
{
	for(int i=1;i<=n;i++) minn[i][0]=d[i];
	queue<int>q;
	q.push(1);
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		for(int i=1;i<=16;i++)
			minn[u][i]=min(minn[u][i-1],minn[fa[u][i-1]][i-1]);
		for(int v:e[u])
		{
			if(u!=fa[v][0]) minn[v][0]=min(minn[v][0],calc(u,v));
			du[v]--;
			if(!du[v]) q.push(v);
		}
	}
}

void up(int u)
{
	sum[u]=sum[lc(u)]+sum[rc(u)];
}

void merge(int &a,int b,int l,int r)
{
	if(!a)
	{
		a=b;
		return;
	}
	if(!b) return;
	if(l==r)
	{
		sum[a]+=sum[b];
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	merge(lc(a),lc(b),l,mid);
	merge(rc(a),rc(b),mid+1,r);
	up(a);
}

int query(int u,int l,int r,int ql,int qr)
{
	if(!u) return 0;
	if(ql<=l&&r<=qr) return sum[u];
	int mid=(l+r)>>1,ans=0;
	if(ql<=mid) ans+=query(lc(u),l,mid,ql,qr);
	if(qr>mid) ans+=query(rc(u),mid+1,r,ql,qr);
	return ans;
}

void del(int &u,int l,int r,int ql,int qr)
{
	if(!u) return;
	if(ql<=l&&r<=qr)
	{
		u=0;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(ql<=mid) del(lc(u),l,mid,ql,qr);
	if(qr>mid) del(rc(u),mid+1,r,ql,qr);
	up(u);
}

void update(int &u,int l,int r,int x,int v)
{
	if(!u) u=++node;
	if(l==r)
	{
		sum[u]+=v;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid) update(lc(u),l,mid,x,v);
	else update(rc(u),mid+1,r,x,v);
	up(u);
}

void solve(int u)
{
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
	{
		int v=to[i];
		solve(v);
		merge(rt[u],rt[v],1,n);
	}
	int nv=minn[u][0];
	int tmp=query(rt[u],1,n,nv+1,n);
	del(rt[u],1,n,nv+1,n);
	update(rt[u],1,n,nv,tmp+1);
	for(Query now:p[u])
		ans[now.id]=size[u]-query(rt[u],1,n,1,d[now.a]);
}

int main()
{
	n=read(),m=read(),q=read();
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u=read(),v=read();
		e[u].push_back(v);
		du[v]++;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		sort(e[i].begin(),e[i].end());
	d[1]=1;
	dfs(1);
	DP();
	for(int i=1;i<=q;i++)
	{
		int a=read(),b=read();
		p[b].push_back(Query(a,i));
	}
	solve(1);
	for(int i=1;i<=q;i++)
		printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}