【SHOI2010】最小生成树（最小割，最小生成树）

初看题目，发现题目的操作比较复杂。仔细想了一想，发现题目中的操作“把图中除了这条边以外的边，每一条的权值都减少 $1$”就等价于“把这条边的权值加 $1$”。所以题目的操作就被我们化繁为简了。

然后继续想：如何才能使 $Lab$ 边一定在最小生成树中？

画个图看一下（就以样例为例）：

假设现在 $Lab$ 边是 $(1,2)$，长度为 $2$。

那么既然我要保证 $Lab$ 边是最小生成树的一条边，点 $1$、$2$ 就不能在一个环里面，也就是说，点 $1$、$2$ 之间不能存在另一条可选的路径。（注意“边”与“路径”的区别）

也就是说，在原来的无向图上，$1\rightarrow2$ 的其他路径中，每条路径至少要存在一条边的边权大于 $2$，否则在建最小生成树时就有可能被选到。

比如 $1\rightarrow2$ 的其他路径有 $1\rightarrow3\rightarrow2$、$1\rightarrow4\rightarrow2$ ……，其中路径 $1\rightarrow3\rightarrow2$ 是不满足条件的，因为这条路径上没有一条边的边权大于 $2$，那么我们就有可能选边：

而不是这样：

总而言之，设 $Lab$ 边是 $(A,B)$，长度为 $len$，那么我们要保证在操作之后的无向图上，不存在一条路径 $A\rightarrow B$ 使得这条路径上所有边的边权都小于等于 $len$。

如何维护？

一种显然的暴力就是：枚举 $A\rightarrow B$ 的每一条路径，找到路径上边权的最大值 $maxn$，如果 $maxn>len$，就不管它，否则就用 $len-maxn+1$ 次操作使得这条边权最大的边的权值加上 $len-maxn+1$，超过 $len$。这时我们就能用最小的代价保证这条路径不可能被选到。

想到这里很容易想到最小割：找到边权 $len_0$ 小于等于 $len$ 的每条边 $(u,v)$，并在另一个图上建边 $(u,v,len-len_0+1)$，然后再从 $A$ 到 $B$ 跑最小割，也就是说找到 $A\rightarrow B$ 每条路径上操作代价最小的一条边。最后跑出来的最小割就是答案。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>

#define N 510
#define M 810
#define INF 0x7fffffff

using namespace std;

struct edge
{
	int u,v,w;
}e[M];

int n,m,lab,s,t;
int cnt=1,head[N],cur[N],to[M<<2],nxt[M<<2],c[M<<2];
int num[N];

queue<int>q;

void adde(int u,int v,int ci)
{
	to[++cnt]=v;
	c[cnt]=ci;
	nxt[cnt]=head[u];
	head[u]=cnt;
	
	to[++cnt]=u;
	c[cnt]=0;
	nxt[cnt]=head[v];
	head[v]=cnt;
}

bool bfs()
{
	memcpy(cur,head,sizeof(cur));
	memset(num,-1,sizeof(num));
	q.push(s);
	num[s]=0;
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
		{
			int v=to[i];
			if(c[i]&&num[v]==-1)
			{
				num[v]=num[u]+1;
				q.push(v);
			}
		}
	}
	return num[t]!=-1;
}

int dfs(int u,int minflow)
{
	if(!minflow||u==t) return minflow;
	int preflow=0,nowflow;
	for(int i=cur[u];i;i=nxt[i])
	{
		cur[u]=i;
		int v=to[i];
		if(num[v]==num[u]+1&&(nowflow=dfs(v,min(minflow-preflow,c[i]))))
		{
			preflow+=nowflow;
			c[i]-=nowflow;
			c[i^1]+=nowflow;
			if(!(minflow-preflow)) break;
		}
	}
	return preflow;
}

int dinic()
{
	int maxflow=0;
	while(bfs())
		maxflow+=dfs(s,INF);
	return maxflow;
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&lab);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);
	s=e[lab].u,t=e[lab].v;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(i!=lab&&e[i].w<=e[lab].w)
		{
			adde(e[i].u,e[i].v,e[lab].w-e[i].w+1);//别问我为什么要建双向边，问就是这是dinic，分层图不怕死循环
			adde(e[i].v,e[i].u,e[lab].w-e[i].w+1);
		}
	}
	printf("%d\n",dinic());
	return 0;
}