【SDOI2013】保护出题人（斜率，凸壳）

显然对于第 \(i\) 关的答案为：

\[ans_i=\max_{j\in [1,i]}\left(\dfrac{s_i-s_{j-1}}{x_i+(i-j)d}\right) \]

（其中 \(s_i=\sum\limits_{j=1}^ia_j\)）

然后把这个看成是 \((x_i+i\cdot d,s_i)\) 和 \((j\cdot d,s_{j-1})\) 两点的斜率。

考虑在线维护 \((j\cdot d,s_{j-1})\) 的点集 \(S\)，然后在线询问 \((x_i+i\cdot d,s_i)\) 和点集中的所有点连成直线的斜率的最大值。

发现肯定有 \(x_i+i\cdot d>j\cdot d\) 和 \(s_i>s_{j-1}\)，故询问点 \(Q\) 一定在维护的点集 \(S\) 的右上方，如图：

显然斜率最大值是 \(Q\) 和点集 \(S\) 的右下半部分相切时：

于是维护点集 \(S\) 的右下部分的凸壳，然后每次询问时在这个凸壳上二分切点位置即可。

而且随着 \(j\) 的增大 \((j\cdot d,s_{j-1})\) 也是往右上方移动的，所以这个凸壳也很好维护。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>

#define N 100010
#define ll long long
#define eps 1e-5

using namespace std;

inline ll read()
{
	ll x=0;
	int f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}

int cmp(double a,double b)
{
	if(fabs(a-b)<eps) return 0;
	return a<b?-1:1;
}

struct Point
{
	double x,y;
	Point(){};
	Point(double a,double b){x=a,y=b;}
}sta[N];

double slope(Point a,Point b){return (a.y-b.y)/(a.x-b.x);}

int n,top;
ll d;

int main()
{
	n=read(),d=read();
	ll s=0;
	double sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		ll a=read(),x=read();
		Point now=Point(i*d,s);
		while(top>1&&cmp(slope(now,sta[top-1]),slope(now,sta[top]))>=0) top--;
		sta[++top]=now;
		s+=a;
		Point q=Point(x+i*d,s);
		int l=1,r=top,ans=-1;
		while(l<=r)
		{
			int mid=(l+r)>>1;
			if(cmp(slope(q,sta[mid-1]),slope(q,sta[mid]))<=0)
			{
				ans=mid;
				l=mid+1;
			}
			else r=mid-1;
		}
		sum+=slope(q,sta[ans]);
	}
	printf("%.0lf\n",sum);
	return 0;
}