【SCOI2016】美味（主席树，贪心）

看到异或最大，第一反应是用 01trie 做。

但是 01trie 不能实现区间加法，所以不好做。

看回题目，从最简单的思路去想：

设 \(ans\) 能使得 \(ans\ \operatorname{xor}\ b\) 最大。每次将 \(b\) 二进制拆分，设二进制下 \(b\) 的第 \(i\) 位为 \(b_i\)（第 \(0\) 位为最低位），\(ans\) 的第 \(i\) 位为 \(ans_i\)。

然后我们贪心地从高位往低位考虑如何取 \(ans\)。假设当前考虑取第 \(i\) 位，前面取的总和为 \(sum\)（即 \(sum=\sum_{j>i}ans_j\times 2^j\)）。显然，\(ans_i\) 取 \(b_i\operatorname{xor}1\) 最优。

但是这样取可能导致我们无法找到一个合法的 \(a_i+x=ans\)，所以我们考虑当 \(ans_i\) 取 \(b_i\operatorname{xor}1\) 时，\(ans\) 的取值会在哪个范围。

易得此时 \(ans\in [sum+(b_i\operatorname{xor}1)\times2^i,sum+(b_i\operatorname{xor}1)\times2^{i}+2^i-1]\)。

那么对应合法的 \(a_i=ans-x\) 的取值范围也就出来了：

\(a_i\in[sum+(b_i\operatorname{xor}1)\times2^i-x,sum+(b_i\operatorname{xor}1)\times2^{i}+2^i-1-x]\)。

那么我们只用找到是否存在这么一个 \(a_i\) 在这个范围里就好了。如果存在，\(ans_i\) 就能取 \(b_i\operatorname{xor}1\)，否则只能取 \(b_i\)。

我们再看一下现在要维护的东西：\(m\log (10^5)\) 次询问，每次给出两个区间 \([l,r]\) 和 \([v_1,v_2]\)，问是否存在 \(a_i\in[v_1,v_2]\)（\(l\leq i\leq r\)）。

这种形式就很熟悉了，我们可以使用可持久化权值线段树来维护这个东西。

代码中的细节还是挺多的，如下：

#include<bits/stdc++.h>

#define LN 18
#define N 200010
#define lc(u) t[u].ch[0]
#define rc(u) t[u].ch[1]

using namespace std;

struct Segment_Tree
{
	int ch[2],size;
}t[(N<<2)+N*LN];//主席数空间：4n+nlogn

int n,m,a[N];
int node,root[N];

void build(int &u,int l,int r)
{
	u=++node;
	if(l==r) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	build(lc(u),l,mid);
	build(rc(u),mid+1,r);
}

void insert(int &u,int last,int l,int r,int x)
{
	u=++node;
	t[u]=t[last];
	t[u].size++;
	if(l==r) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid) insert(lc(u),lc(last),l,mid,x);
	else insert(rc(u),rc(last),mid+1,r,x);
}

bool query(int a,int b,int l,int r,int ql,int qr)
{
	if(ql<=l&&r<=qr) return t[b].size-t[a].size;//如果两次query分别求两棵树的size再相减判断的话可能会TLE，所以直接一次query判断
	int mid=(l+r)>>1;
	bool flag=false;
	if(ql<=mid) flag|=query(lc(a),lc(b),l,mid,ql,qr);
	if(qr>mid) flag|=query(rc(a),rc(b),mid+1,r,ql,qr);
	return flag;
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	build(root[0],0,1e5);//树的区间不是1到n，而是0到10^5，因为这是权值线段树
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		insert(root[i],root[i-1],0,1e5,a[i]);
	}
	while(m--)
	{
		int b,x,l,r;
		scanf("%d%d%d%d",&b,&x,&l,&r);
		int sum=0;
		for(int i=17;i>=0;i--)//i要从17开始枚举，否则会WA，因为 2^16<=max ai<=2^17
		{
			int tmp=(b>>i)&1;
			tmp^=1;
			int minn,maxn;
			if(tmp)
			{
				minn=sum+(1<<i);
				maxn=sum+(1<<(i+1))-1;
			}
			else
			{
				minn=sum;
				maxn=sum+(1<<i)-1;
			}
			minn-=x;
			maxn-=x;//求出ai的范围
			bool flag=true;
			if(maxn<0) flag=false;//特判右端点小于0 
			else if(minn>1e5) flag=false;//特判左端点大于10^5
			else flag=query(root[l-1],root[r],0,1e5,max(minn,0),min(maxn,(int)1e5));//记得取max、min
			if(flag) sum+=tmp*(1<<i);
			else sum+=(tmp^1)*(1<<i);
		}
		printf("%d\n",sum^b);
	}
	return 0;
}