【JLOI2016_SHOI2016】侦察守卫（树形DP）

考虑树形 DP，假设我们已经考虑完当前子树内监听点的放置情况，根为 \(u\)，考虑我们要记录什么状态：\(u\) 子树内的监听点向子树外还能监听多远，\(u\) 子树内距离根最远的未被监听点有多远。

发现当第二个状态存在时，第一个状态是无用的，因为若 \(u\) 子树内存在一个未被监听的点 \(v\)，设其到 \(u\) 的距离为 \(d\)，那么：

• \(u\) 子树内的监听点最远向子树外的监听距离不会超过 \(d\)，否则 \(v\) 就能被监听。
• \(v\) 最后肯定被 \(u\) 子树外的某个点 \(x\) 监听，那么所有距离 \(u\) 小于等于 \(d\) 的点都能被 \(x\) 监听到。

也就是说当 \(v\) 存在时，我们无需考虑 \(u\) 子树内的监听点向 \(u\) 子树外的监听情况，第一个状态是无用的。

那么这样就能简化 DP 状态：我们设 \(f_{u,i}\) 表示考虑完 \(u\) 子树内监听点的放置状况，\(u\) 子树内离 \(u\) 最远的未被监听的点的距离为 \(i\)，所需的最小代价。设 \(g_{u,i}\) 表示考虑完 \(u\) 子树内监听点的放置状况，\(u\) 子树内已经不存在未被监听的点，且 \(u\) 子树内的监听点向子树外最远能监听距离 \(i\)，所需的最小代价。

转移时合并 \(u\) 当前已经考虑的子树和枚举的儿子 \(v\) 的子树，分 \(f_u,f_v\)、\(f_u,g_v\)、\(g_u,f_v\)、\(g_u,g_v\) 四种情况合并：

\[\begin{aligned} f_{u,i}+f_{v,j}&\to f_{u,\max(i,j+1)}\\ f_{u,i}+g_{v,j}&\to \begin{cases}g_{u,j-1}&\text{if }j-1\geq i\\f_{u,i}&\text{if }j-1<i\end{cases}\\ g_{u,i}+f_{v,j}&\to \begin{cases}g_{u,i}&\text{if }i\geq j+1\\f_{u,j+1}&\text{if }i<j+1\end{cases}\\ g_{u,i}+g_{v,j}&\to g_{u,\max(i,j-1)} \end{aligned} \]

使用前缀和/后缀和优化即可做到 \(O(nD)\)。

初始时每个点都各自形成单独一棵子树，对于所有点设 \(g_{u,D}\gets w_u\)，对需要被监听的点设 \(f_{u,0}=0\)，对不需要被监听的点设 \(g_{u,0}=0\)。

#include<bits/stdc++.h>

#define D 25
#define N 500010
#define INF 0x7fffffff

using namespace std;

inline void upmin(int &x,int y){if(y<x) x=y;}

inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}

int n,d,w[N];
int cnt,head[N],nxt[N<<1],to[N<<1];
int f[N][D],g[N][D],pref[N][D],preg[N][D];

void adde(int u,int v)
{
	to[++cnt]=v;
	nxt[cnt]=head[u];
	head[u]=cnt;
}

inline void premin(int *f,int *pre)
{
	for(int i=0;i<=d;i++)
		pre[i]=min(i?pre[i-1]:INF,f[i]);
}

void dfs(int u,int fa)
{
	static int ff[D],gg[D];
	premin(f[u],pref[u]),premin(g[u],preg[u]);
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
	{
		int v=to[i];
		if(v==fa) continue;
		dfs(v,u);
		memset(ff,0x3f,sizeof(ff));
		memset(gg,0x3f,sizeof(gg));
		for(int i=1;i<=d;i++)
			upmin(ff[i],f[u][i]+pref[v][i-1]);
		for(int i=0;i<d;i++)
			upmin(ff[i+1],pref[u][i+1]+f[v][i]);
		for(int i=1;i<=d;i++)
			upmin(gg[i-1],pref[u][i-1]+g[v][i]);
		for(int i=0;i<=d;i++)
			upmin(ff[i],f[u][i]+preg[v][i]);
		for(int i=1;i<=d;i++)
			upmin(gg[i],g[u][i]+pref[v][i-1]);
		for(int i=0;i<d;i++)
			upmin(ff[i+1],preg[u][i]+f[v][i]);
		for(int i=0;i<=d;i++)
			upmin(gg[i],g[u][i]+preg[v][min(i+1,d)]);
		for(int i=1;i<=d;i++)
			upmin(gg[i-1],preg[u][i-1]+g[v][i]);
		memcpy(f[u],ff,sizeof(f[u]));
		memcpy(g[u],gg,sizeof(g[u]));
		premin(f[u],pref[u]),premin(g[u],preg[u]);
	}
}

int main()
{
	n=read(),d=read();
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	memset(g,0x3f,sizeof(g));
	for(int i=1;i<=n;i++) g[i][d]=read();
	for(int i=1,m=read();i<=m;i++) f[read()][0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) if(f[i][0]) g[i][0]=0;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int u=read(),v=read();
		adde(u,v),adde(v,u);
	}
	dfs(1,0);
	int ans=INF;
	for(int i=0;i<=d;i++) ans=min(ans,g[1][i]);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}