【CTS2019】珍珠（计数，容斥，NTT）

题意：称一个长度为 \(n\)，值域为 \([1,D]\) 整数序列为合法序列，当且仅当序列中能选出 \(m\) 对数相等。问合法序列数。

\(1\leq D\leq 10^5,1\leq n,m\leq 10^9\)。

题解：

设 \(c_i\) 表示数 \(i\) 在序列中的出现次数，那么限制转化成：

\[\sum_{i=1}^D \lfloor\frac{c_i}{2}\rfloor\geq m \]

把 \(\lfloor\dfrac{c_i}{2}\rfloor\) 转化为 \(\dfrac{c_i-c_i\bmod 2}{2}\)，这样做的好处是 \(\sum c_i\) 是固定的，于是限制就能转化成：

\[\sum_{i=1}^D c_i\bmod 2\leq n-2m \]

左式的取值范围是 \([0,D]\)，所以若右式 \(n-2m\) 不在这个范围的话，可以直接特判掉，现在只考虑 \(n-2m\in [0,D]\) 的情况。

现在我们只关心 \(c_i\) 的奇偶性。

设 \(f_k\) 表示钦定 \(k\) 个 \(c_i\) 为奇数的方案数，求出 \(f\) 之后恰好为 \(k\) 个的方案数可以卷出来。

对于一种 \(c_i\)，强制钦定它为奇数的 EGF 为 \(\{0,1,0,1,\cdots\}=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\)，否则任选的 EGF 为 \(e^x\)。

于是：

\[\begin{aligned} f_k&=\binom{D}{k}[x^n]\left(\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^k\left(e^x\right)^{D-k}\\ &=\binom{D}{k}\frac{1}{2^k}[x^n]\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}(-1)^{k-i}e^{(D-2k+2i)x}\\ &=\binom{D}{k}\frac{1}{2^k}\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}(-1)^{k-i}\frac{(D-2k+2i)^n}{n!}\\ \end{aligned} \]

卷一下即可。

代码咕了。