【CF1601C】Optimal Insertion（结论）
首先容易知道 \(b\) 序列在 \(a\) 中的顺序肯定是从小到大排序的，否则交换 \(b\) 中逆序的肯定会更优。
接下来是一个很鬼的结论。
设 \(p_i\) 表示考虑仅将 \(b_i\) 插入 \(a\) 序列中，最优位置是插在 \(a_{p_i-1}\) 与 \(a_{p_i}\) 之间，注意对于同一个 \(i\)，\(p_i\) 可能有多个。
结论：若 \(b_j<b_i\)，对于多个 \(p_j\) 中的任意一个，均存在 \(p_i\) 使得 \(p_j\leq p_i\)。
证明：
先考虑 “最优位置” 怎么求得，对于 \(b_j\)，我们把 \(a\) 中小于 \(b_j\) 的数看成 \(0\)，大于 \(b_j\) 的数看成 \(1\)，那么插入 \(b_j\) 位置在 \(p_j\) 的贡献即为 \(a_1,\cdots,a_{p_j-1}\) 中 \(1\) 的个数加上 \(a_{p_j},\cdots,a_n\) 中 \(0\) 的个数。
这里为了证明的直观，我们没有考虑 \(a\) 中有和 \(b_j\) 相等的数的情况，考虑上这种情况的证明方法也是一样的。
考虑反证法，设 \(p_i<p_j\)，把序列 \(a\) 分成三段：\(A=[1,p_i-1]\)，\(B=[p_i,p_j-1]\)，\(C=[p_j,n]\)。
注意到从 \(b_j\) 变为 \(b_i\) 后，\(a\) 序列中只有会 \(1\) 变成 \(0\)。
设 \(A_0,A_1\) 表示 \(A\) 中原来 \(0,1\) 的个数，\(A'_0,A'_1\) 表示从 \(b_j\) 变为 \(b_i\) 后 \(A\) 中 \(0,1\) 的个数。\(B,C\) 同理定义。
那么 \(p_j\) 的贡献为：\(A_1+B_1+C_0\)。
由于 \(p_j\) 是 \(b_j\) 的最优位置，所以可知把 \(p_j\) 变成 \(p_i\) 所在位置不会更优，于是：\((A_1+B_1+C_0)-(A_1+B_0+C_0)\leq 0\)，即 \(B_1-B_0\leq 0\)。
\(p_i\) 的贡献为：\(A_1'+B_0'+C_0'\)。
若把 \(p_i\) 调整到 \(p_j\) 所在位置，贡献为：\(A_1'+B_1'+C_0'\)，与调整前的贡献相减得到 \((A_1'+B_1'+C_0')-(A_1'+B_0'+C_0')=B_1'-B_0'\)，而 \(B_1'-B_0'\leq B_1-B_0\leq 0\)，所以把 \(p_i\) 调整到 \(p_j\) 所在位置肯定不劣，所以肯定存在 \(p_i\geq p_j\)。
那么我们可以对于每一个 \(b_i\) 直接把它插到 \(p_i\) 中去，根据这个结论，这样的插法肯定也是满足按 \(b_i\) 从小到大排序的。
更加严谨地说，按这种插法首先保证了 \(b\) 和 \(a\) 之间的逆序对最少，而根据结论可知此时 \(b\) 和 \(b\) 之间的逆序对为 \(0\)，也取到了下界，而 \(a\) 和 \(a\) 之间的逆序对是本来就固定了的。
现在的问题相当于如何快速求每个 \(b_i\) 的最优位置和它的逆序对贡献。
使用线段树维护 \([1,i-1]\) 中 \(1\) 的个数 + \([i,n]\) 中 \(0\) 的个数的最小值即可。
#include<bits/stdc++.h>
#define N 1000010
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define pii pair<int,int>
#define mk(a,b) make_pair(a,b)
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')
{
if(ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
ch=getchar();
}
return x*f;
}
int T,n,m,nn,a[N],b[N],bb[N<<1];
namespace AA
{
int c[N<<1],lowbit[N<<1];
void init()
{
const int t=2000000;
for(int i=1;i<=t;i++) lowbit[i]=(i&-i);
}
void add(int x,int y)
{
for(;x<=nn;x+=lowbit[x]) c[x]+=y;
}
int query(int x)
{
int ans=0;
for(;x;x-=lowbit[x]) ans+=c[x];
return ans;
}
ll work()
{
for(int i=1;i<=nn;i++) c[i]=0;
ll ans=0;
for(int i=n;i>=1;i--)
{
ans+=query(a[i]-1);
add(a[i],1);
}
return ans;
}
}
namespace BA
{
int minn[N<<2],lazy[N<<2];
void downn(int k,int v)
{
minn[k]+=v,lazy[k]+=v;
}
void down(int k)
{
if(lazy[k])
{
downn(k<<1,lazy[k]);
downn(k<<1|1,lazy[k]);
lazy[k]=0;
}
}
void up(int k)
{
minn[k]=min(minn[k<<1],minn[k<<1|1]);
}
void build(int k,int l,int r)
{
lazy[k]=0;
if(l==r)
{
minn[k]=l-1;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(k<<1,l,mid);
build(k<<1|1,mid+1,r);
up(k);
}
void update(int k,int l,int r,int ql,int qr,int v)
{
if(ql<=l&&r<=qr)
{
downn(k,v);
return;
}
down(k);
int mid=(l+r)>>1;
if(ql<=mid) update(k<<1,l,mid,ql,qr,v);
if(qr>mid) update(k<<1|1,mid+1,r,ql,qr,v);
up(k);
}
pii p[N];
ll work()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
p[i]=mk(a[i],i);
sort(p+1,p+n+1);
sort(b+1,b+m+1);
build(1,1,n+1);
ll ans=0;
int tmp1=1,tmp2=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
while(tmp2<=n&&p[tmp2].fi<=b[i])
{
update(1,1,n+1,p[tmp2].se+1,n+1,-1);
tmp2++;
}
while(tmp1<=n&&p[tmp1].fi<b[i])
{
update(1,1,n+1,1,p[tmp1].se,1);
tmp1++;
}
ans+=minn[1];
}
return ans;
}
}
int main()
{
AA::init();
T=read();
while(T--)
{
n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=n;i++) bb[i]=a[i]=read();
for(int i=1;i<=m;i++) bb[n+i]=b[i]=read();
sort(bb+1,bb+n+m+1);
nn=unique(bb+1,bb+n+m+1)-bb-1;
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(bb+1,bb+nn+1,a[i])-bb;
for(int i=1;i<=m;i++) b[i]=lower_bound(bb+1,bb+nn+1,b[i])-bb;
printf("%lld\n",AA::work()+BA::work());
}
return 0;
}
