【AGC035E】Develop（图论，DP）

对于某个集合 $S\subseteq\{1,\cdots,n\}$，考虑能不能删去 $S$。

对于任意 $x\in S$，连边 $x\to x-2$（如果 $x-2\in S$）及 $x\to x+k$（如果 $x+k\in S$），那么能把 $S$ 删去当且仅当这张图是一个 DAG。

于是我们先对所有点都这么连边形成图 $G$，那么 $S$ 合法当且仅当 $S$ 在 $G$ 中的导出子图是个 DAG，即无环。

对于所有 $x\to x-2$ 的边，它们形成了两条链，分别称为奇链和偶链。然后我们对 $k$ 的奇偶性分类讨论：若 $k$ 是偶数，那么这两条链是不连通的（独立的），而无环相当于要求每条链中不连续选 $k/2+1$ 个点，这个方案数很好统计（注意数据范围不大，暴力 DP 即可）。

若 $k$ 是奇数，情况就复杂些。首先，若出现了环，那么一定经过了正偶数条 $x\to x+k$ 的边（经过一次会改变一次当前点的奇偶性）。接下来我们证明，一个简单环必定只经过了恰好 $2$ 条 $x\to x+k$ 的边。

对于任意一个简单环 $C$，取其编号最小的点 $a$，那么环中 $a$ 的上一个点一定是 $a+2$，下一个点一定是 $a+k$（记为 $b$）。而且我们发现，对于 $a,a+2,\cdots,b-1$ 中的任意一个点 $x$，$x$ 在环中都不可能是 $+k$ 得到的（否则 $a$ 不是最小点），于是我们已经可以确定 $C$ 的一部分形态，如上图左上。

接着，$b$ 在环中接下来肯定是先走若干步 $-2$（可以是 $0$ 步，但不能超过 $a$）走到 $c$，然后再走一步 $+k$ 走到 $d$，如上图左下。

接着，如上图右，我们又继续考虑 $e=b+1$ 这个点是从哪来的，若它是 $+k$ 得到的，那么就必然要经历从 $b-1,b$ 右侧到 $b-1,b$ 左侧的过程（从 $d$ 经过若干步到达 $a+1$），这个过程中一定会再次经过 $b-1,b$ 中的某一个点，这就与该环是简单环矛盾了。从而，$e$ 是从 $e+2$ 来的。类似地，可以推出 $b+1,b+3,\cdots,d-2$ 中的每一个点 $x$ 都是从 $x+2$ 来的，这就和 $d$ 接起来了。

于是 $C$ 只有可能是 $a\xrightarrow{\text{一步}+k}b\xrightarrow{\text{若干步}-2}c\xrightarrow{\text{一步}+k}d\xrightarrow{\text{若干步}-2}a$ 的形态。

那么，现在限制改为了，$S$ 在 $G$ 中的导出子图不能出现环，且该环恰经过两次 $+k$，如下图左上。

假设 $S$ 已经选好了，怎么快速判断是否存在这样的环：可以从每个 $S$ 中的奇数编号的点 $x$ 开始，按如下方式找一条路径（称为 $x$ 的找环路）并检查：

• 找到最小的 $y$ 使得 $\{y,y+2,\cdots,x-2,x\}\subseteq S$。

• 找到最小的 $z$ 使得 $z\in\{y,y+2,\cdots,x-2,x\}$ 且 $z+k\in S$。若找不到这样的 $z$ 那么跳过从 $x$ 开始的检查。

• 找到最小的 $w$ 使得 $\{w,w+2,\cdots,z+k-2,z+k\}\subseteq S$。

• 考虑路径 $P=x\to x-2\to \cdots\to z\to z+k\to z+k-2\to \cdots\to w$，若 $P$ 长度大于等于 $k+2$，那么我们就找到了一个环。

如上图左下，图中的红蓝两条路径就是从两个不同的 $x$ 开始的找环路。

容易证明，按照上述方式，若找不到任何一个环，那么图中就确实不存在环（因为从我们所述的 $z$ 跳到 $z+k$，是能使得 $P$ 的长度尽量大的）。

那么考虑 DP。如上图右，设 $f_{i,\ell_1,\ell_2}$ 表示考虑完 $[1,i]$ 中的奇数点和 $[1,i+k]$ 中的偶数点，其中从 $i$ 开始的找环路经过的点数为 $\ell_1$，而从 $i+k$ 开始不断 $-2$ 所能经过的点的个数为 $\ell_2$ 的方案数。

转移的时候，考虑从 $i+2$ 开始的找环路（假设 $i+2\in S$）：若 $i\in S$ 且存在从 $i$ 开始的找环路，那么从 $\ell_1$ 转移过来；否则从 $\ell_2$ 转移过来。转移是 $O(1)$ 的。

时间复杂度 $O(nk^2)$，注意 DP 时若 $\ell_2> k+2$ 我们可以直接把它看做 $k+2$。