谈谈坐标系的变换

坐标系的变换分两类：一类是坐标系中，点的位置不变，变的只是坐标的值，或者说改变的只是同一个点在不同系下的描述；二类是点的坐标值不改变，点的位置发生改变适应新的坐标系,或者说相同的坐标值在不同的坐标系中有不同的几何解释，从而得到不同的位置。

我们讨论的是前一种情况。

  

一）基底：

坐标系最根本的是基底，点P的坐标是(1,2,3)是什么意义？

可能说：表示的是P在直角坐标系中，在x轴上的投影为1，在y轴上的投影为2，在z轴上的投影为3。

对吗？

未必。

首先，我们讨论的未必是直角坐标系；

其次，所谓投影，一般是指作垂直的直线，这只有在直角坐标系中才是这样，在非直角坐标系中，作垂直是没有意义的，应该是“平行”。确定x轴上的分量要作与yoz平面平行的平面与x轴相交；

第三，在x轴上的分量未必为1，这只有在空间直角坐标系中当向量op=i+2j+3k时才是这样。

当向量op=i+2j+3k时，我们就叫点P的坐标为(1,2,3)，这里的三个单位向量i，j，k就叫这个坐标系的基底。

 

但是要注意，坐标系的基底未必是向量i，j，k。

例：设有三个向量a,b,c，这三个向量未必是单位向量，也未必垂直，只是非常普通的三个向量，只要这三个向量非零且不共面，就可以作为基底，此时若向量op=a+2b+3c 则称点p在以a,b,c为基底的系下的坐标为(1,2,3)。

 

二）变换：

以向量i，j，k作为基底的坐标系（称原系）里一个点P（x1,y1,z1），即OP=x1*i+y1*j+z1*k。  

设向量a=（xa,ya,za)，即a=xa*i+ya*j+za*k；

向量b=（xb,yb,zb)，即b=xb*i+yb*j+zb*k；

向量c=（xc ,yc,zc)，即c=xc*i+yc*j+zc*k；

现以a,b,c为基底建立新系，则点P在新系下的坐标为多少？

设在新系下的坐标为（x2,y2,z2),则

向量op=x2*a+y2*b+z2*c

= x2*（xa*i+ya*j+za*k）+y2*（xb*i+yb*j+zb*k）+z2*（xc*i+yc*j+zc*k）

=(x2*xa+y2*xb+z2*xc)*i+(x2*ya+y2*yb+z2*yc)*j+(x2*za+y2*zb+z2*zc)*k

 

又OP=x1*i+y1*j+z1*k,

所以

x2*xa+y2*xb+z2*xc=x1

x2*ya+y2*yb+z2*yc=y1

x2*za+y2*zb+z2*zc=z1

写成矩阵形式

显然

同一个点位置不变，在新旧坐标系中有新旧两个坐标，这就是新旧两坐标的关系。

请再次回顾，并作观察，新坐标系的基底在原坐标系中的坐标为

向量a=（xa,ya,za)；

向量b=（xb,yb,zb)；

向量c=（xc ,yc,zc）。

 

三）应用：

在Polt3D中，在计算计算隐藏线面时，在一个x轴垂直电脑屏幕的坐标系（以向量i，j，k为基底，称Game系）中计算，但在表现出来，即给用户的感觉时，却用的是斜二侧画法使用的坐标系。

斜二测画法的坐标系(称Math系)基底为

向量a=(1,-0.35355334,-0.35355334)

向量b=（0,1,0)；

向量c=（0,0,1）。

在计算旋转时，也要先放到Math系，GameToMath(p)，再作旋转：Rotate(P)，最后又回到Game系：MathToGame(P)。