学习Spherical Harmonics的简记

说的不对请拍砖！Orz

SH是一种特殊的函数，高阶的SH可以还原非常复杂的函数，而低阶的SH比较适合还原低频函数。现代GPU硬件通常支持4个channel的texture，或者支持大顶点格式，这也为4阶以内的SH（需要4^2=16个系数）在GPU上的实现奠定了基础。

很多函数可以近似分解为多个不同相位、不同频率的正弦波，也是傅立叶变换所解决的问题。SH也类似的，由多个基函数叠加合成，对于不同的基函数有不同的系数，使得SH可以模拟很多函数，当然它的特性在图形学的范畴内是比较适合模拟diffuse光照中各向同性的特点。

SH有几个牛逼的特性，一个是rotation invariant，对于旋转，存在一个旋转函数可以把SH旋转过来。还有一个就是dot product，由于正交性，可以把SH函数相乘的积分化解为几个dot product！在我看来这是使用SH的最主要目的了。

在PRT及其变种中，SH对原函数的压缩和还原是作为核心思想直接使用的。而PRT也受到了SH带来的限制，即球谐的特性导致了各向同性，在diffuse情况下工作得很好，而完全不能用在specular的情况下。所以specular的东西还是需要其他的模型去实现。

实现PRT的话，我们这样做：

1）预计算，通过raytracer获得顶点或纹素上的辐射度传递信息，如果你懒得实现一个raytracer的话，你可能只能得到无阴影，无相互反射的N dot L的效果。当然这辐射度信息的部分如果用GPU来加速应该也是可行的。将辐射度信息投影到SH空间，存储辐射度的SH系数。

2）运行时，把球面上的光照向量投影到SH空间，存储为光照SH系数。在shader中通过madd也就是一系列点乘运算将辐射度SH系数和光照SH系数乘起来，就可以得到最终辐射度的效果，将其作为参数加入光照模型即可得到一幅低频的，有软阴影甚至是interreflection的diffuse画面。

当然实际情况远没那么简单，尤其是SH系数的旋转，很烦。目前D3DX中的D3DXSHRotate也只支持最高6阶的SH。

参考资料：

Evaluation of the rotation matrices in the basis of real spherical harmonics
http://www1.elsevier.com/homepage/saa/eccc3/paper48/eccc3.html

Spherical Harmonic Lighting: The Gritty Details
http://www.research.scea.com/gdc2003/spherical-harmonic-lighting.pdf