双曲函数

偶然发现这玩意貌似很好玩于是写点意思一下

代数形式

\[\sinh(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\\ \cosh(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\\ \tanh(x)=\dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \]

这三个函数的奇偶性同正常的三角函数，其中两个奇函数是单增的，\(\cosh x\) 的增减性同 \(y=x^2\)

双曲函数恒等式

\(\tanh(x)=\dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\)

\(\sinh^2(x)-\cosh^2(x)=1\)

求导法则如下：

\((\sinh x)'=\cosh x\)

\((\cosh x)'=\sinh x\)

\((\tanh x)'=1-\tanh^2x\)

甚至还有一个重要极限

\(\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sinh x}{x}=1\)

可见双曲函数和正常三角函数有高度统一性，以至于我们注意到

\[\sinh(ix)=i\sin(x),\sin(ix)=i\sinh(x)\\ \cosh(ix)=\cos(x),\cos(ix)=\cosh(x)\\ \tanh(ix)=i\tan(x),\tan(ix)=i\tanh(x) \]

同样有基本的和差角公式

\[\sinh(x\pm y)=\sinh x\cosh y\pm \cosh x \sinh y \\ \cosh(x\pm y)=\cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y\\ \tanh(x\pm y)=\dfrac{\tanh x \pm \tanh y}{1\pm \tanh x \tanh y}\\ \]

当然也有二倍角公式，懒得推了，降幂一样的

自然和差化积和积化和差也是可以的

常见用途是积分时换元