从ICG到SG函数
从ICG到SG函数
标签（空格分隔）： 博弈论 数学
SG函数是用于解决博弈论中公平组合游戏（ICG）问题的一种方法
ICG
这是啥？
定义大概就几条：
- 双方参与，轮流决策，决策最优
- 无法决策时游戏结束，无法决策者输，不论如何决策游戏都能在有限步完成
- 同一状态不可多次抵达，游戏无平局，任意决策者在决策点的行为与决策者无关仅与决策点有关
这就是 ICG，公平组合游戏
典型例子是 nim 游戏
必胜必败态
必败态：记为 P，直观理解就是到达这个状态的人已经必死无疑了
必胜态：记为 N，直观理解就是到这里就稳了，脑子不犯蠢就一定会赢
可以证明 ICG 里任意状态一定都是这两种状态，有策梅洛定理：
策梅洛定理：ICG 游戏中，任何一个局面先手或者后手其中之一必然存在必胜策略
如何判断一个状态是 N 是 P 呢？
最直观的方法是：
- 无法移动的状态一定是
P，称为初必败态 - 能够移动到必败态的一定是必胜态，因为你只要往必败态走就行了
- 只能移动到必胜态的就是必败态，因为你无论如何行动对手都必胜了
DAG的博弈
有这样一个问题
给定一个有向无环图，在给定的起点处有一个棋子，两个炒鸡聪明的人交替移动这个棋子，不能移动者输
看起来是一个很呆的问题，但是这个问题单独拿出来的意义在于 任意一个 ICG 问题都可以归纳到这种形式（状态为点，状态间连边）
mex运算
马上要开始探究 SG 函数，但是在此之前......
首先我们需要定义一个奇怪的运算，mex
这是一个数集的运算符号，\(mex(S)\) 代表的是不在集合 \(S\) 中 的最小自然数
例如 \(mex(\{0,1,3,5\})=2\)
SG函数
用 \(v(u,v)\) 表示从 \(u\) 到 \(v\)，存在直接的有向边，则
对于给定的 DAG，我们定义每个点的SG函数为：
\(SG(x)=mex(\{SG(y)|v(x,y)\})\)
但是只有这一个函数呢，他是啥用么有的
SG函数的性质
- 所有汇点（也就是各个初必败态）的 \(SG\) 函数值为 \(0\)
这个应该比较显然的说，因为此时后继状态都是空集
- \(SG(x)=0\) 是 \(x\) 为必败态的充要条件，\(SG(x)\neq 0\) 是 \(x\) 是必胜态的充要条件
以上就是一维 \(SG\) 函数的基本内容，利用这个例子我们可以解决一个简单的经典小问题
巴什博弈：一堆石子有 \(n\) 个，每次可以取 \([1,m]\) 个石子。先取完者获胜。问何时先手必胜，何时后手必胜？
发现暴力算是可以解决的
如果追求效率，经常不会真的去暴力算 \(SG\)，而是考虑直接归纳每个状态的 \(SG\) 函数
如果算一遍 \(SG\) 的代价可以承受，就可以考虑直接去算
但是如果不能归纳出 \(SG\) 函数，这种博弈问题我们就是不能得出结论通解的
先介绍一下考场实用的一种方法：打表
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n,m;
int SG[N];
bitset<N> S,clr;
void get_SG(){
SG[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
S&=clr;
for(int j=1;j<=min(m,i);j++){
S[SG[i-j]]=1;
}
for(int j=0;;j++){
if(!S[j]) {SG[i]=j;break;}
}
}
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n>>m;
get_SG();
for(int i=1;i<=n;i++) cout<<SG[i]<<endl;
}
根据定义，这份代码可以打出巴什博弈的 \(SG\) 函数
我们可以观察出 \(SG\) 在巴什博弈的规律是 \(SG(x)=x\bmod (m+1)\)，这是我们观察出的结论
一般我们可以打出表来，然后再证明（当然不证也不是啥大事，只要你多看看确认是对的就行）
巴什博弈的证明是显然的，就不赘述了
SG定理
如果 \(SG\) 只能解决一维的博弈问题，那这个玩意其实有点弱了
nim游戏
先用一个简单的例子来引入一下
这是一个可拆分的组合游戏
我们考虑一个子游戏，即考虑拿出任意一堆来做游戏
我们称 \(SG(x)\) 表示大小为 \(x\) 的堆的 \(SG\) 函数，显然有 \(SG(x)=x\)
我们很容易得出面前的每一堆的子游戏是必胜还是必败
尝试用子问题的胜败推出总问题的胜败！
这里先考虑两个子问题的复合，因为多个子问题本质上就是两个的情况的扩展
-
当我面前两个游戏都是必败的，则我必败
必败的走一步必然走到必胜的 等会对面再把另一个变成必败的，我又收到了两个必败游戏 最后我会收到两个无子可动的终盘游戏，则我必败 -
假如我面前摆着一败一胜的游戏，实际上我必胜
必胜的走一步能走到必败的 对面会收到两个必败，对面一定会输 故我必胜 -
假如面前是两个必胜......
等会，好像不太对劲
两个必胜在我面前时，我根本无法判断我必胜还是必败
有点悲哀，好像寄了，单个的 \(SG\) 函数貌似无法直接复合生成，那难道没有办法了吗
SG定理
此时某位我不知道是谁的伟大的人给出了一个伟大的定理，SG定理
SG定理：游戏的“和”（其实是复合）的 \(SG\) 值是各个子问题 \(SG\) 的异或和
然后我们可以发现这个问题我们解决了！
于是nim游戏的 \(SG\) 已经非常简单的搞定了
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+5;
int n;
int a[N];
int T;
void work(){
cin>>n;
int xr=0;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i],xr^=a[i];
if(xr==0) cout<<"No\n";
else cout<<"Yes\n";
}
int main(){
cin>>T;
while(T--){
work();
}
}
短小精悍
证明不会
后面是例题环节
题目
XYD_OIFC2024 noip10.30T2
here（需要权限）
考察每个数的 \(SG\)，容易得出 \(SG(1)=1\)，其余情况 \(SG(x)=mex_{u=1}^{x-1}(\oplus_{i=1}^{u} SG(x))\)，显然 \(mex\) 里面那一坨要么大于 \(2\) 要么是 \(1\) 所以 \(SG(x)=2\)，然后就做完了
