24.8.18 DP训练

A - Mondriaan's Dream

求用 \(1\times 2\) 的小矩形填满 \(n\times m\) 的矩形的方案数

sol

数据范围超级小，考虑状压

记录 \(st_i\) 表示 \(i\) 这个二进制状态下的连续 \(0\) 长度是否存在奇数

设 \(dp_{i,j}\) 表示到第 \(i\) 列，且在 \(j\) 中 \(1\) 的位置和 \(i+1\) 列放了横的小方块

然后转移见代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define int long long
using namespace std;
const int N=13,L=1<<12;
int dp[N][L];
bool st[L];
int n,m;
void init(){
    for(int i=0;i<(1<<n);i++){
        int cnt=0;
        st[i]=1;
        for(int j=0;j<n;j++){
            if(i&(1<<j)){
                if(cnt&1) break;
                cnt=0;
            }
            else cnt++;
        }
        if(cnt&1) st[i]=0;
        for(int j=1;j<=m;j++) dp[j][i]=0;
    }
}

signed main(){
    while(1){
        cin>>n>>m;
        if(n*m%2==1){
            cout<<0<<"\n";
            continue;
        }
        if(n==0 and m==0) return 0;
        init();
        dp[0][0]=1; 
        for(int i=1;i<=m;i++){
            for(int j=0;j<(1<<n);j++){
                for(int k=0;k<(1<<n);k++){
                    if((j&k) or !st[j|k]) continue;
                    dp[i][j]+=dp[i-1][k];
                }
            }
        }
        cout<<dp[m][0]<<"\n";
    }
}

B - Greedy Pie Eaters P

luogu有，题意略去

考虑区间dp，这道题一看就很区间dp不是吗

考虑转移，用一般的区间地爬的套路用 \(f(i,j)=sol(f(i,k-1),f(k+1,j))\) 其中 \(sol\) 是一些操作

这里设 \(p(k,i,j)\) 表示牛子里面能在 \(k\) 没吃时吃 \(k\) 且 \(i\le l \le k\le r\le j\) 的最大的 \(w\)

预处理 \(p\) 然后 \(f(i,j)=max(f(i,k-1)+f(k+1,j)+p(k,i,j))\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int dp[305][305];
int p[305][305][305];
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int w,l,r;
        cin>>w>>l>>r;
        for(int j=l;j<=r;j++){
            p[j][l][r]=w;
        }
    }
    for(int k=1;k<=n;k++){
        for(int i=k;i;i--){
            for(int j=k;j<=n;j++){
                if(i!=1) 
                    p[k][i-1][j]=max(p[k][i][j],p[k][i-1][j]);
                if(j!=n)
                    p[k][i][j+1]=max(p[k][i][j],p[k][i][j+1]);
            }
        }
    }
    for(int i=n;i>=1;i--){
		for(int j=i;j<=n;j++){

			for(int k=i;k<=j;k++){
				dp[i][j]=max(dp[i][j],(k!=i?dp[i][k-1]:0)+(k!=j?dp[k+1][j]:0)+p[k][i][j]);
			}
		}
	}    cout<<dp[1][n];
}

D - Tree Painting

好吧全场最弱）

发现答案只与选择的起点有关，也就是所谓选的根有关

于是考虑换根，\(f_y=f_x+n-2\times size_y\) ，dfs即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=2e5+5;
int n;
long long ans,f[N],g[N],siz[N];
vector<int>e[N];

void dfs1(int x,int fa){
	siz[x]=1;
	for(int i=0;i<e[x].size();++i){
		if(e[x][i]^fa)
    		dfs1(e[x][i],x),
	    	siz[x]+=siz[e[x][i]],
		    g[x]+=g[e[x][i]];
	}
	g[x]+=siz[x];
}

void dfs2(int x,int fa){
	for(int i=0;i<e[x].size();++i){
		if(e[x][i]^fa)
    		f[e[x][i]]=n+f[x]-2*siz[e[x][i]],
		    dfs2(e[x][i],x);
	}
}

int main(){
    cin>>n;
	for(int i=1,u,v;i<n;++i){
        cin>>u>>v;
		e[u].push_back(v);
		e[v].push_back(u);
	}
	dfs1(1,0);
	f[1]=g[1];
	dfs2(1,0);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		ans=max(ans,f[i]);
	}
    cout<<ans;
}

F - Salazar Slytherin's Locket

题面略

数位dp纯板子，细节就是记忆化搜索的时候把 \(b\) 也存到记忆化数组里，不然会寄

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int q,b,len,a[101];
ll l,r,f[11][65][1024];

ll dfs(int k,int ok,int p,int q){
    if(!k) return !ok;
    if(!p and !q and f[b][k][ok]!=-1) return f[b][k][ok];
    int y=q?a[k]:(b-1);
    ll res=0;
    for(int i=0;i<=y;i++){
        res+=dfs(k-1,(p and !i)?0:(ok^(1<<i)),p and !i,q and (i==y));
    }
    if(!p and !q) f[b][k][ok]=res;
    return res;
}

ll calc(ll num){
    len=0;
    while(num){
        a[++len]=num%b;
        num/=b;
    }
    return dfs(len,0,1,1);
}

int main(){
    memset(f,-1,sizeof f);
    cin>>q;
    while(q--){
        cin>>b>>l>>r;
        cout<<calc(r)-calc(l-1)<<"\n";
    }
}