线段树进阶奇淫巧计

看本文文字部分可以少带脑子，但是代码部分仔细看了因为不一定编译了不一定对

动态开点

一般来说线段树的空间开销是比较巨大的，需要 $4 n$ 的空间，一般其实是可以支撑的，但是权值线段树就不一定了。值域级别的代价是支持不了的。

一般在动态开点的前提下只需要支持单点操作

一旦是序列问题还给定初始序列那就别老惦记你那动态开点了，用不了的（除非可持久化）

动态开点是怎么个事?

我们先铺垫一个小函数:newnode

int newnode(){return ++cnt;}

此处以单点赋值单点查询为例

int upd(int p,int l,int r,int x,int val){
	if(!p) p=newnode();
	if(l==r){
		tr[p].v=val;
	}
	else{
		int mid=(l+r)>>1;
		if(x<=mid){
			tr[p].lc=upd(tr[p].lc,l,mid,x,val);
		}
		else{
			tr[p].rc=upd(tr[p].rc,mid+1,r,x,val);
		}
	}
	return p;
}

霍等会，为啥要记录左右儿子？因为现在节点编号不再是父节点乘二而是另算的!

又等下，咋又变成int的函数了?因为你可能需要更改左右儿子的值而不是保持不变

我们类似的又可以写出查询的代码:

int ask(int p,int l,int r,int x){
	if(l==r){
		return tr[p].v;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid) return ask(tr[p].lc,l,mid,x);
	else return ask(tr[p].rc,mid+1,r,x);
}

和普通的查询没点区别是吧，确实

类似的你也可以单点加区间查询和，但是一旦要打标记，这个动态开点就空间没咋优化还参数大了，一般不会用

大体其实没啥区别，要点就是编号方式不是堆式储存，在访问空节点时新建

标记永久化

有时候我们最喜欢的懒标记可能会太懒了一点，下传不好维护或者下传复杂度、不是 $O (1)$

咋办？那就让他懒死直接别动了

直接把pushup和pushdown一起扔掉

例子:线段树1

void build(int now,int l,int r){
	if(l==r){tr[now]=a[l];return;}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(ls,l,mid);
	build(rs,mid+1,r);
    tr[now]=tr[ls]+tr[rs];
}

建树没啥区别，看看区间修改

void modify(int now,int l,int r,int L,int R,int k){
	if(L<=l and r<=R){
		tag[now]+=k;
		return ;
	}
	tr[now]+=(R-L+1)*k;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(R<=mid){
		modify(ls,l,mid,L,R,k);
	}
	else if(L>mid){
		modify(rs,mid+1,r,L,R,k);
	}
	else{
		modify(ls,l,mid,L,mid,k);
		modify(rs,mid+1,r,mid+1,R,k);
	}
}

什么原理?

我们可以考虑对于某个区间的修改对结果的影响。因为我们没有要pushup，我们再向下递归的时候考虑每个区间需要被改动多少

如果目标区间完全被包含在当前区间内，加上目标区间长度*加几

向下递归时，如果目标区间完全在某个子树内，无疑直接递归下去

如果 $m i d$ 分开了目标区间，显然位于另一个子树的部分区间对于这个子树是没有贡献的

然后继续递归

int query(int now,int l,int r,int L,int R){
	int cnt=(R-L+1)*tag[now];
	if(L<=l and r<=R) return tr[now]+cnt;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(R<=mid) cnt+=query(ls,l,mid,L,R);
	else if(L>mid) cnt+=query(rs,mid+1,r,L,R);
	else{
		cnt+=query(ls,l,mid,L,mid);
		cnt+=query(rs,mid+1,r,mid+1,R);
	}
	return cnt;
}