条件概率、乘法公式

条件概率#

P(A)无条件概率 --> 样本空间为全集

P(A|B)条件概率 --> 样本空间为B

换言之条件概率就是用B来缩小样本空间的大小，在新的样本空间上讨论事件A发生的概率

$$①P(A|B)=N_{AB}/N_B\\②P(A|B)=N_{AB}/N_B=(N_{AB}/N)/(N_B/N)=P(AB)/P(B)$$

由此可得

$$③P(AB)=P(B)P(A|B)\\④P(AB)=P(A)P(B|A)$$

这就引出了乘法公式

乘法公式#

见式子③④，可以理解为分步进行：A发生，在A发生的前提下B发生

若有三个事件

$$P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)$$

同理可推广到n个事件的情况

例题#

例：传染病模型，箱子中有a个白球，b个黑球，随机取一个并放回，同时放回c个颜色相同的球，问连续摸到三个白球的概率

设A1、A2、A3为第一次、第二次、第三次摸到白球

$$P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)\\=(a/a+b)(a+c/a+b+c)(a+2c/a+b+2c)$$