古典概型、几何概型、频率与概率、公理化

古典概型

古典概型性质

1）非负性：0<=P(a)<=1

2）规范性：P(Ω)=1 P(Ф)=0

3）有限可加性：A1~An互不相容

优点：可以用公式直接算

缺点：1）要求有限个结果 2）要求结果等可能性

例题

例：现有a个白球，b个黑球，从中接连取出m个球，问第m个球是白球的概率是？

法1）假设把这a+b个球排成一排，共有（a+b）！种放法，现假设先放第m个球，为白球，共有a种放法，其余的位置全排列，共有（a+b-1）！种放法，故概率为

\[a(a+b-1)!/(a+b)!=a/(a+b) \]

法2）将取出的m个球排成一排，可以将第m个球看作是第一个取出的，则为白球的概率为

\[a/(a+b) \]

注：将法二抽象地看，可看作在a+b个球中取一个球，该球是白球的概率，概率为

\[a/(a+b) \]

几何概型

将概率问题转换成线段长度、面积、体积占比问题

例题

例：甲乙在一小时内任意时间可能到达，到达后等待十五分钟，问甲乙相遇概率？

设甲到达时间为x，乙到达时间为y，则全集为

\[0<=x<=60，0<=y<=60 \]

由题可知：

\[|x-y|<=15 \]

则问题转化为可相遇面积在全集面积中的占比

补充：蒲丰投针问题、蒙特卡罗方法

频率与概率

定义：做了n次实验，A发生了m次，则称频率为

\[ωn(A)=m/n \]

性质：

1）非负性：0<=ωn(A)<=1

2）规范性：ωn(Ω)=1 ωn(Ф)=0

3）有限可加性：A1~An互不相容

随着试验次数的增多，A的频率接近于概率

公理化

对概率的定义：描述、古典、几何、统计

1）非负 2）规范 3）可加

公理1（非负） ：0<=P(a)<=1

公理2（规范）：P(Ω)=1 P(Ф)=0

一个有意思的补充：Ф为不可能事件可推出P(Ф)=0，但反之未必成立，可想象在区间[0,1]上投质点，落在0.5上的概率为0，但质点有概率落到0.5上

公理3（完全可加）：A1……互不相容，P（A1+………）=P（A1）+………（注意可和有限可加区分）

由公理可推出空集概率为0、有限可加性、事件A与A逆的概率和为1等性质

加法公式

\[P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) \]

补充：容斥定理

\[P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) \]

由此可扩展到n个事件，助记：括号内字符数为奇数个为正，偶数为负