Pack

背包专题

背包吼哇！

基础的背包分为OI01背包,完全背包，多重背包，二维背包，分组背包，树形背包，求方案数等..........

作为DP的一个基础部分还是有必要写一写的。

01背包：

一个物品能取1次。

设f[i][j]表示i物品j体积的最大权值，则状态转移方程：

f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - c[i]] + v[i]);

优化掉物品那一维：

for i 1...n

　　for j V...c[i]

　　　　f[j] = max(f[j], f[j - c[i]] + v[i]);

完全背包：

物品能取任意多次。

状态同上。

for i 1...n

　　for j c[i]...V

　　　　f[j] = max(f[j], f[j - c[i]] + v[i]);

多重背包：

一个物品可取若干次。

处理方法：

• 拆成01背包(过水)
• 二进制拆分(不会)
• 单调队列优化(上课讲了，没听懂...)

分组背包：

物品被分成若干组，每组只能选择至多1个。

状态：f[i][j]表示i组j体积的最大权值。

循环 + 状态转移方程：

for i 1...g

　　for j V...g[i].min_c

　　　　for k g[i].s...g[i].t

　　　　　　if(j >= c[k])

　　　　　　　　f[j] = max(f[j], f[j - c[k]] + v[k]);

二维背包：

费用限制为二维。

此时我们只需要把状态加一维即可解决。

for i 1...n

　　for jA VA...cA[i]

　　　　for jB VB...cB[i]

　　　　　　f[jA][jB] = max(f[jA][jB], f[jA - cA[i]][jB - cB[i]] + v[i]);

可行性完全背包：

可以用bitset解决

树形背包：

本质是分组背包。把子节点的不同体积看做组内不同物品。

例题：洛谷P2014 选课

#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int N = 310;

struct Edge {
    int nex, v;
}edge[N]; int top;

int e[N], v[N], f[N][N], n, m, root;

inline void add(int x, int y) {
    top++;
    edge[top].v = y;
    edge[top].nex = e[x];
    e[x] = top;
    return;
}

void DFS(int x) {
    for(int i = e[x]; i; i = edge[i].nex) {
        int y = edge[i].v;
        DFS(y);
        // cal
        for(int j = m; j >= 1; j--) { // 0 1 pack
            for(int k = 0; k <= j; k++) {
                f[x][j] = std::max(f[x][j], f[x][j - k] + f[y][k]);
            }
        }
    }
    if(x != root) {
        for(int i = m; i >= 1; i--) {
            f[x][i] = f[x][i - 1] + v[x];
        }
    }
    return;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    root = n + 1;
    for(int i = 1, x; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d", &x, &v[i]);
        add(x ? x : root, i);
    }
    DFS(root);
    printf("%d", f[root][m]);
    return 0;
}

注意要倒序循环V的理由是这是01背包，一个物品只能取一次。