拉格朗日插值

例题：Luogu P4781【模板】拉格朗日插值

题目大意： 给出\(n\)个点\(P_i(x_i,y_i)\)，讲过这\(n\)个点的最多\(n - 1\)次的多项式记为\(f(x)\)，求\(f(k)\)的值

方法一：差分法

差分法适用于\(x_i = i\)的情况

如，用差分法求\(f(x) = \sum_{i = 1}^xi^2\)的多项式形式。

1    5    14    30    55    91
   4    9    16    25    36
      5    7     9    11
        2     2     2

第一行为\(f(x)\)的连续的前几项。

若上面一行有\(n\)个值，下面一行有\(n - 1\)个值，每个值为上面对应的相邻两项的差。观察到，如果这样操作的次数足够多（前提是\(f(x)\)为多项式），每次总会返回一个定值，可以利用这个定制求出\(f(x)\)的每一项的系数，然后即可将\(k\)带入多项式中求解。

如上例中可求出\(f(x) = \frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n\)。时间复杂度为\(O(n^2)\)，对给出的点的限制性较强。

方法二：高斯消元

使用待定系数法。设\(f(x) = \sum_{i = 0}^{n-1}a_ix^i\)将每个\(x_i\)代入\(f(x)\)，有\(f(x_i)=y_i\)，这样就可以得到一个由\(n\)条\(n\)元\(1\)次方程所组成的方程组，然后使用高斯消元求出每一项\(a_i\)，然后将\(k\)，代入求值。

时间复杂度\(O(n^3)\)，对给出点的坐标无要求。

方法三： 拉格朗日插值法

考虑将每个点做一个对于\(x\)轴的垂线，设垂足为\(H_i(x_i,0)\)。

如上图所示，黑线等于蓝线加绿线加红线。每次我们选择一个\(P_i\)，并选择其他的\(H_j[j\not=i]\)，做一条过这些点的一条至多\(n-1\)次的线。由于有\(n-2\)个点都在\(x\)轴上，我们知道这条线的解析式一定是形如

\[g_i(x) = y_i \times (\prod_{i = 1}^n(x-x_i)[i\not=x]) \]

最后将所有的\(g(x)\)相加，即\(f(x)=\sum_{i=1}^ng_i(x)\)。因为对于每个点\(P_i\)，都只有一条函数经过\(P_i\)，其余都经过\(H_i\)，这一项的系数是\(0\)，所以最后的和函数总是过所有\(n\)个点的。

公式整理得：

\[f(x)=\sum_{i=1}^ny_i\times(\prod_{j\not=i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}) \]

如果要将每一项都算出来，时间复杂度仍是\(O(n^2)\)的，但是本题中只用求出\(f(k)\)的值，所以只需将\(k\)代入进式子里得到：

\[ans = \sum_{i=1}^ny_i\times(\prod_{j\not=i}\frac{k-x_j}{x_i-x_j}) \]

本题中，还需要求解逆元。如果先分贝计算出分子和分母，再将分子乘进分母的逆元，累加进最后的答案，时间复杂度的瓶颈就不会在求解逆元上，时间复杂度为\(O(n^2)\)。