二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法
这篇文章讲无权二分图的最大匹配和完美匹配，以及用于求解匹配的匈牙利算法
二分图：
简单来说，如果图中的点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，那么这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集合\(U\)和\(V\)，使得每一条边都分别连接\(U、V\)中的顶点，如果存在这样的划分，那么这个图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。
下图中，图一为一个二分图，为了清晰，画成图二这种形式。
匹配:
在图论中，一个"匹配"是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共点。
下图中图三，图四中红色的边就是图二的匹配。
我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，他们的含义非常容易理解。
上图中，图三中1、4、5、7为匹配点，其他点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。
最大匹配：
一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。上图中，图四是一个最大匹配，它包含四条匹配边。
完美匹配：
如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。上图中，图四是一个完美匹配。那么显然完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条线的匹配边一定会以已有的匹配边冲突）。
并非每个图都存在完美匹配。
举个栗子：
下图中，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。问题一：是否可能让所以男孩和女孩两两配对，使得所有人都互相喜欢呢？
这就是完美匹配问题。
问题二：最多有多少互相喜欢的男女生可以配对？
这就是最大匹配问题。
最大匹配数：
最大匹配的匹配边的数目。
最小点覆盖数:
选取最少的点，是任意一条边至少有一个端点被选择。
最大独立数:
选取最多的点，使任意所选两点均不相连。
最小路径覆盖数:
对于一个DAG，选取最少条路径，是的每个顶点属于且仅属于一条路径。路经长可以为0（即单个点）。
几个定理：
- 最大匹配数 = 虽小点覆盖数
- 最大匹配数 = 最大独立数
- 最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数
以上为基本概念，下面引入求解最大匹配问题的一个算法匈牙利算法，先引入一些概念为算法服务。
交替路:
从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边，匹配边，非匹配边......形成的路径叫交替路。
增广路:
从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），那么这条交替路称为增广路。上图中，图五的一条增广路如下图所示（匹配点为红色）
增广路有一个重要的特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多一条。
我们通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（增广路定理）。匈牙利算法就是这么做的。
同时说一下什么是匈牙利树。
匈牙利树一般由BFS构造（类似于BFS树）。从一个未匹配点出发进行BFS（唯一的限制是，必须走交替路），直到不能再拓展为止。下图中，图七可以得到图八的一棵BFS树。
但是这可树存在一个叶子节点为非匹配点（7号），但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点，因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含7号点，那么2号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图九所示。
下面给出匈牙利算法的DFS和BFS
// 顶点、边的编号均从 0 开始
// 邻接表储存
// c++11
struct Edge{
int from;
int to;
int weight;
Edge(int f, int t, int w):from(f), to(t), weight(w) {}
};
vector<int> G[__maxNodes]; /* G[i] 存储顶点 i 出发的边的编号 */
vector<Edge> edges;
int num_nodes;
int num_left;
int num_right;
int num_edges;
int matching[__maxNodes]; /* 存储求解结果 */
int check[__maxNodes];
bool dfs(int u){
for (auto i = G[u].begin(); i != G[u].end(); ++i) { // 对 u 的每个邻接点
int v = edges[*i].to;
if (!check[v]) { // 要求不在交替路中
check[v] = true; // 放入交替路
if (matching[v] == -1 || dfs(matching[v])) {
// 如果是未盖点，说明交替路为增广路，则交换路径，并返回成功
matching[v] = u;
matching[u] = v;
return true;
}
}
}
return false; // 不存在增广路，返回失败
}
int hungarian(){
int ans = 0;
memset(matching, -1, sizeof(matching));
for (int u = 0; u < num_left; ++u) {
if (matching[u] == -1) {
memset(check, 0, sizeof(check));
if (dfs(u))
++ans;
}
}
return ans;
}
---------------------下面是BFS----------------------------
queue<int> Q;
int prev[__maxNodes];
int Hungarian(){
int ans = 0;
memset(matching, -1, sizeof(matching));
memset(check, -1, sizeof(check));
for (int i = 0; i < num_left; ++i) {
if (matching[i] == -1) {
while (!Q.empty()) Q.pop();
Q.push(i);
prev[i] = -1; // 设 i 为路径起点
bool flag = false; // 尚未找到增广路
while (!Q.empty() && !flag) {
int u = Q.front();
for (auto ix = G[u].begin(); ix != G[u].end() && !flag; ++ix) {
int v = edges[*ix].to;
if (check[v] != i) {
check[v] = i;
Q.push(matching[v]);
if (matching[v] >= 0) { // 此点为匹配点
prev[matching[v]] = u;
} else { // 找到未匹配点，交替路变为增广路
flag = true;
int d = u, e = v;
while (d != -1) {
int t = matching[d];
matching[d] = e;
matching[e] = d;
d = prev[d];
e = t;
}
}
}
}
Q.pop();
}
if (matching[i] != -1) ++ans;
}
}
return ans;
}
匈牙利算法要点
1、从左边第一个顶点开始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路。
- 如果经过一个未匹配点，说明寻找成功。跟新路径信息，匹配边数+1，停止搜索。
- 如果一直没有找到增广路，则不再从这个点开始搜索。事实上，此时搜索后会形成一个匈牙利树。我么可以永久性地把它从图中删去，而不影响结果。
2、由于找到增光路之后需要眼路径更新匹配，所以我么需要一个结构来记录路径上的点。DFS版本通过函数调用使用一个栈，而BFS版本使用\(prev\)数组。
性能对比
两个版本的时间复杂度都是\(O(V*E)\)。DFS优点是思路清晰、代码量少，但是性能不如BFS。
经过测试两种算法性能之后得出如下结论。
对于稀疏图，BFS版本明显快于DFS版本；
对于稠密图两者不相上下。
在完全随机数据 9000 个顶点 4,0000 条边时BFS领先DFS大约 97.6%，9000 个顶点 100,0000 条边时BFS领先DFS 8.6%, 而达到 500,0000 条边时 BFS 仅领先 0.85%
