P1720 月落乌啼算钱（斐波那契数列）

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先看一下题目：

题目背景

（本道题目木有隐藏歌曲……不用猜了……）

《爱与愁的故事第一弹·heartache》最终章。

吃完 pizza，月落乌啼知道超出自己的预算了。为了不在爱与愁大神面前献丑，只好还是硬着头皮去算钱……

题目描述

算完钱后，月落乌啼想着：“你 TMD 坑我，（以下用闽南语读）归粒靠杯靠亩诶，（以下用英读）是伊特游！”于是当爱与愁大神问多少钱时，月落乌啼说了一堆乱码。爱与愁大神说：“算了算了，我只问第n样菜价格多少？”月落乌啼写出了：

斐波那契数列公式

由于爱与愁大神学过编程，于是就用 $1$ 分钟的时间求出了 $F_n$ 的结果。月落乌啼为此大吃一惊。你能学学爱与愁大神求出 $F_n$ 的值吗？

输入格式

一行一个自然数 $n$ 。

输出格式
只有 $1$ 行一个实数 $F_n$ ，保留两位小数。

解题思路

一、通过题目标题可得知，这道题是求斐波那契数列，题目里也给了公式：

斐波那契数列公式

规律：

- f[1]=1
- f[2]=1
- f[3]=2
- f[4]=3
- f[5]=5
- f[6]=8
......
f[i]=f[i-1]+f[i-2]

注意保留两位小数（也可以输出.00，记得开 long long ）

代码实现：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
double f[100010]={0,1,1};
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=3;i<=n;++i)
	{
	    f[i]=f[i-1]+f[i-2];//公式，求斐波那契
	} 
	printf("%.2lf\n",f[n]);
	return 0;
}

二、打表

本题数据 $0 \leq n \leq 48$ ，完全可以打表

~~妈妈再也不用担心我TLE了~~

打表代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
double f[101]={1.00,1.00,2.00,3.00,5.00,8.00,13.00,21.00,34.00,55.00,89.00,144.00,233.00,377.00,610.00,987.00,1597.00,2584.00,4181.00,6765.00,10946.00,17711.00,28657.00,46368.00,75025.00,121393.00,196418.00,317811.00,514229.00,832040.00,1346269.00,2178309.00,3524578.00,5702887.00,9227465.00,14930352.00,24157817.00,39088169.00,63245986.00,102334155.00,165580141.00,267914296.00,433494437.00,701408733.00,1134903170.00,1836311903.00,2971215073.00,4807526976.00};//打表
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    printf("%.2lf\n",f[n-1]);
    return 0;
}

三、套公式

科普一下：
$pow ( x ,y )$ 返回x的y次方

套用公式
$\dfrac{ ( \frac{ 1 + \sqrt{5} } {2} )^n - ( \frac{ 1 - \sqrt{5} } {2} )^n}{\sqrt{5}}$ 即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	printf("%.2f",(pow(((1+sqrt(5))/2),n)-pow(((1-sqrt(5))/2),n))/sqrt(5));//公式
	return 0;
}

四、记忆化搜索

记得要开long long!!!

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
long long f[10010];
long long dp(int x)
{
	if(x==0)   return 0;//特判
	if(f[x]>0) return f[x];
	if(x==1||x==2) return 1;
	return f[x]=dp(x-2)+dp(x-1);
}
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	cout<<dp(n)<<".00"<<endl;
	return 0;
}